Эффективное сопротивление через 2 смежные вершины додекаэдра с каждым ребром rrr

Каково будет эффективное сопротивление двух соседних вершин правильного додекаэдра (12 граней), каждое ребро которого имеет сопротивление р ?

Вот источник задачи, это задача 20. на листе.

В ссылке решается типичная задача с использованием симметрии (бесконечная квадратная решетка, сопротивление между соседними вершинами) и далее формулируется

По-видимому, такая техника симметризации может быть применена и к конечным решеткам.

Я ищу некоторые идеи о том, как применить эту технику к додекаэдру. В более общем плане я ищу примеры, где такие методы симметризации можно использовать для конечных решеток.

Додекаэдр

Вы, конечно, можете сократить его пополам и определить узлы с равным потенциалом. Ребра между этими узлами затем можно обрезать для дальнейшего упрощения. В качестве альтернативы вы можете применить к нему преобразование звездообразной сетки, которое должно привести к двойному геометрическому и может иметь меньше узлов (от 20 до 12... может быть, я что-то упускаю)?
@CuriousOne Я понял вашу идею, но не будет ли это слишком беспокойным для додекаэдра? В конце концов, 12 узлов не так уж и мало.

Ответы (1)

Чтобы сделать задачу симметричной, подумайте вот о чем: что происходит, когда вы берете додекаэдр и управляете током? я в него из вершины А и водить я / 20 из всех вершин (включая А )? По законам Кирхгофа и симметрии существует ток

я А − о ты т "=" ( я − я / 20 ) 3 "=" 19 60 я

идущий от А в соседние вершины.

Теперь предположим Б является соседом А и мы делаем то же самое для Б , но с током − я (поэтому ток течет в Б из ближайших вершин). Снова мы находим, что есть ток

я Б − я н "=" 19 60 я

течет в Б . Теперь накладываем эти решения - получаем решение, где есть ток я входя в А и все это исходит из Б . Также обратите внимание, что ± я / 20 выход из каждой вершины также исчез. Однако край, соединяющий А и Б имеет текущий

я ′ "=" я А − о ты т + я Б − я н "=" 19 30 я

Итак, напряжение между А и Б является U "=" я ′ р , таким образом

U / я ′ "=" 19 30 р

(что является правильным ответом).

Я решил решить эту проблему, а не просто давать идеи, потому что в решении использовались некоторые идеи из предыдущих задач на листе, так что, вероятно, это будет более полезно для других пользователей.

Мне нравится этот подход. Как можно было бы обобщить любые два узла (например, если бы два узла не были смежными?)
@Floris: с додекаэдром это можно сделать с любыми двумя узлами, потому что можно найти ток (когда весь ток исходит из А ) в любом ребре, используя только симметрию. Позже вы можете найти напряжение между А и Б добавлением нескольких напряжений на резисторах. Однако обратите внимание, что в бесконечной решетке это не так просто (или даже возможно), потому что ток не распределяется равномерно между узлами дальше.
Это очень элегантно, но где во всем этом мы используем тот факт, что это додекаэдр, а не какая-то другая топология схемы с таким же количеством вершин? Где содержится информация о том, что все ветки имеют одинаковое сопротивление?
«Теперь мы накладываем эти решения» — что именно означает «наложение»? (Должны быть некоторые дополнительные условия - см. комментарий @CuriousOne или вопрос, почему вы не можете назначить разные токи разным вершинам, чтобы они везде отменялись.)
@CuriousOne: Ну, это, по сути, доказывает, что каждая схема с 20 узлами, так что 3 ребра соединены с каждым узлом, и каждый узел симметричен любому другому узлу (потому что, если бы это было не так, мое предположение о равномерном распределении токов могло бы становятся ложными) имеет эффективное сопротивление 19 30 р . Я подозреваю, что это может быть единственная схема, которая соответствует этим ограничениям. Однако, если есть другие, это доказывает, что все эти цепи имеют одинаковое сопротивление.
@CuriousOne И я могу использовать симметрию, потому что все сопротивления равны.
@NorbertSchuch Комментарий к CuriousOne должен ответить на большую часть вашего вопроса. Подавать разные токи на разные узлы не очень хорошая идея, потому что я гарантирую, что изначально весь ток распределяется равномерно от А просто используя тот факт, что ситуация симметрична по отношению ко всем трем направлениям, в которых может идти ток. Чтобы доказательство работало, эти токи должны быть симметричны также относительно Б . На сегодняшний день самый простой (и, возможно, единственный) способ — взять равный я / 20 с каждого узла.
@kristjan Не то чтобы мне не нравился этот аргумент, я просто не понимаю, как можно было бы выразить это в уравнениях (что вызывает у меня подозрения). Если предположить, что из каждой вершины выходит какой-то ток, то нужно подать туда потенциал. Что, если потенциалы для А и В различны? Что означает наложение в этом случае?
@NorbertSchuch Предположим, что начальное состояние (с 19 я / 20 входя в А ) может быть достигнуто с потенциалами ф , ф + ф 2 , ф + ф 3 , ф + ф 4 , ... применяется к узлам 1, 2, ... Здесь ф можно свободно варьировать. То же самое для второго состояния ( 19 я / 20 выход из цепи из Б ) достигается с некоторыми другими потенциалами ф ′ , ф ′ + ф 2 ′ , ... Наложение этих означает добавление соответствующих потенциалов. Затем U "=" U А Б "=" ф + ф Б + ф ′ + ф Б ′ − ф − ф А − ф ′ − ф А ′ "=" ф Б + ф Б ′ − ф А − ф А ′ (независим от ф и ф ′ ).
@kristjan: я все еще не убежден. Как вы можете видеть из ваших добавленных комментариев, ваше доказательство слишком многое упускает. Может быть, вы можете "видеть" это, я не могу. По общему признанию, это может быть связано с моими ограничениями.
Эффективное сопротивление через 2 смежные вершины додекаэдра с каждым ребром rrr
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 1v