Симметрия в резисторных цепях

Мы не можем удалить резистор между двумя точками, которые мы выбрали, потому что они находятся под разным напряжением.

Хорошо, давайте немного распакуем это. Представьте, что у вас действительно есть резисторная сеть ( любая резисторная сеть), и вы хотите измерить ее сопротивление с помощью омметра . Для этого нужно выбрать две точки в сети и подключить к ним выводы омметра. Затем омметр пропускает через сеть небольшой постоянный ток, измеряя разность напряжений.$\Delta V$между его выводами и током$I$течет по сети между ними, и вычислить сопротивление$R$сети по закону Ома :

Теперь, поскольку мы подаем в сеть фиксированный постоянный ток и поскольку в ней есть только пассивные резистивные компоненты, сеть очень быстро (по существу, мгновенно) установится в устойчивое состояние, в котором каждый узел находится под постоянным напряжением, а каждый через резистор течет постоянный ток.

В частности, узел, к которому мы подключили отрицательный вывод омметра, опускается до некоторого фиксированного напряжения.$V^-$, а узел, к которому мы подключили положительный вывод, подтягивается до некоторого напряжения$V^+ > V^-$. Каждый второй узел$i$сети будет находиться на некотором промежуточном напряжении$V_i$между$V^-$а также$V^+$. Используя вашу аналогию с цветными шарами, это как если бы мы выбрали два шара, покрасили один из них в белый и один в черный , а остальные шары покрасили в разные оттенки серого в соответствии с их равновесным напряжением, определяемым законом Ома и Кирхгофа. первый закон .

Действительно, мы можем механически найти равновесный ток$I$через систему, просто записав выражения для тока, протекающего через каждый резистор$ij$определяется законом Ома:

Однако, если мы хотим упростить систему перед ее решением, мы можем применить два полезных наблюдения:

• Во-первых, если два узла имеют одинаковое напряжение, между ними не может протекать ток:$V_i = V_j$ $\implies$ $I_{ij} = 0$. (Проверьте это, используя приведенный выше закон Ома!) Таким образом, мы можем полностью игнорировать любые резисторы между такими узлами. На самом деле, мы можем даже эффективно объединить такие узлы в один узел (как если бы они были соединены проводом с нулевым сопротивлением), если мы не забываем учитывать тот факт, что мы можем получить несколько резисторов, включенных параллельно между ними . два узла.

• Во-вторых, если у нас есть два узла$i$а также$j$такой, что$R_{ik} = R_{jk}$для всех узлов$k$(где мы берем$R_{ik} = \infty$если$i$а также$k$не связаны) и$I^0_i = I^0_j$, то мы можем поменять местами метки этих двух узлов без изменения каких-либо параметров системы. Таким образом, по симметрии решение должно иметь$V_i = V_j$, так как в противном случае замена меток изменила бы решение без изменения параметров (что является противоречием, если система корректно определена и, следовательно, однозначно разрешима).

В вашей примерной сети каждый узел соединен с каждым другим узлом одинаковыми резисторами, и поэтому$R_{ik} = R_{jk}$для всех узлов$i$,$j$,$k$. Для всех, кроме двух выбранных конечных узлов, у нас также есть$I^0_i = I^0_j = 0$, поэтому все остальные узлы, кроме конечных точек, можно заменить без изменения системы. Таким образом, мы можем игнорировать любые резисторы между ними и даже объединить их все в один узел.

Однако причина, по которой мы не можем поменять местами две выбранные конечные точки, заключается в том, что мы нарушили симметрию, когда подсоединили к ним измерительные провода: в эти точки течет ток извне сети, который притягивает их к разным напряжениям. В частности, разница напряжений приведет к протеканию ненулевого тока через любой резистор, соединяющий эти два узла, и поэтому такие резисторы нельзя игнорировать при расчете общего тока, протекающего через систему.

(Если бы не было подаваемого извне тока, все узлы в сети действительно были бы симметричными, и мы могли бы правильно сделать вывод, что между ними не будет протекать ток. Но этот сценарий совершенно бесполезен для расчета сопротивления, поскольку мы бы просто закончите с неопределенной формой$R = \Delta V/I = 0/0$.)

Данный$N \ge 2$узлы полностью взаимосвязаны с$\frac{1}{2}N(N-1)$резисторы сопротивления$R$(т.е. каждые два узла, соединенные друг с другом сопротивлением$R$), сопротивление между любыми двумя узлами равно$\frac{2}{N}R$.

Это следует непосредственно из выделения напряжения "$+1$" а также "$-1$" к двум рассматриваемым узлам, что приводит к$N-2$другие узлы (все напрямую подключенные к обоим рассматриваемым узлам) приобретают нулевое напряжение. Поскольку ток не будет протекать через сопротивления, соединяющие узлы с одинаковым потенциалом, все сопротивления, не связанные напрямую с двумя рассматриваемыми узлами, можно удалить.

Другими словами: единственные пути проводимости, вносящие вклад, - это одиночный «один прыжок» сопротивления.$R$а также$N-2$«двойные прыжки» сопротивления$2R$. Суммарная параллельная проводимость всех этих объединенных путей равна$\frac{1}{R} + \frac{N-2}{2R} \ = \frac{N}{2R}$. Обратная величина этой величины является эффективным сопротивлением между двумя узлами.

Для таких вопросов есть хороший аргумент. Доказательство следует из линейности системы. Вот как это работает:

1. Предположим, я ввожу текущий$I$из одного узла и извлечь$\frac{I}{5}$от всех остальных узлов. Из-за симметрии я точно знаю, что$\frac{I}{5}$будет течь через соседние провода (ребра).
2. Сейчас я смотрю на другой узел, предположим, я ввожу$\frac{I}{5}$ток со всех остальных узлов и извлечь$I$из этого. Снова используя симметрию, я точно знаю, что$\frac{I}{5}$будет течь по проводам, подключенным к этому узлу.
3. Теперь рассмотрим суперпозицию этих двух случаев. я делаю инъекцию$\frac{6I}{5}$из одной вершины и извлечение того же из другой вершины. Никакой ток не будет выходить или входить из других узлов. Также мы знаем, что ток, проходящий через провод, соединяющий эти два узла, точно равен$\frac{2I}{5}$(следует из линейности).

Следовательно, используя определение эквивалентного сопротивления и разность потенциалов между этими двумя узлами, мы будем иметь:

так почему мы не можем следовать той же логике и удалить резистор между двумя выбранными точками?

Хорошо, я частично отвечу на ваш вопрос . В частности, почему мы не можем удалить резистор между двумя выбранными точками?

Ответ — элементарное применение закона Ома. Выберите любые два узла. Есть резистор, который напрямую соединяет эти два узла.

(1) Поместите источник напряжения между двумя узлами. Теперь на резисторе между двумя узлами есть напряжение и, следовательно, по закону Ома ток через этот резистор .

(2) Этот ток добавляется к общему току через источник напряжения.

(3) Если вы удалите резистор, вы измените ток через источник напряжения и, таким образом, вы измените сопротивление, видимое источником напряжения .

Вывод : вы не можете удалить резистор между выбранными узлами, не изменив эквивалентное сопротивление между этими узлами.

Ясно, что в логике есть изъян, который привел вас к выводу, что резистор можно убрать. Но если честно, по тому, как написана логика , не понятно, что это за логика и как она привела вас к такому выводу.