ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j интерпретация

У меня проблемы с интерпретацией выражения:

е я "=" г я Дж е Дж

которые можно найти, например, в этой главе вики. Также здесь .

Шаг за шагом моя ошибочная логика:

  1. Элементы выражения представляют собой вектор е я принадлежность базиса касательного пространства; е я базиса кокасательного пространства; и метрический тензор г .
  2. С е я вектор базиса касательного пространства, контравариантный вектор.
  3. С е я является контравариантным вектором, его можно выразить в индексной записи как е я α .
  4. По обычному индексу понижения/повышения г я Дж е Дж α "=" е α я
  5. По параллелизму между начальным выражением е я "=" г я Дж е Дж и предыдущий е α я "=" г я Дж е Дж α , я могу сказать, что е я соответствует е α я
  6. С е я вектор выражается как е α я , это контравариантный вектор.
  7. Но е я не может быть контравариантным, так как является вектором базиса кокасательного пространства. Противоречие.

Не найдено, где ошибка в предыдущей последовательности, все шаги кажутся простыми и верными.

Приложение:

Другой способ достичь того же противоречия:

1б. Набор всех векторов, составляющих основу касательного пространства { е 1 , е 2 , … } выражается в форме индекса как е я α .

2б. е я α выражает все множество базисных векторов касательного пространства. е я α — тензор с двумя индексами, α контравариантные (связанные с компонентами пространства) и я ковариантный (связанный с индексом в базисном наборе).

3б. г я Дж это тензор, который для двух ковариантных тензоров дает скаляр. Другими словами, при наличии ковариантного вектора/тензора получается контравариантный вектор/тензор. Или, в более общем смысле, отображает (n+m)-тензор с n контравариантными размерностями и m ковариантными размерностями в другой (n+m)-тензор с (n+1) контравариантными размерностями и (m-1) ковариантными размерностями.

4б. Применение г я Дж над е Дж α мы наносим на карту Дж ковариантная размерность е к контравариантному, получая тензор, дважды контравариантный е α я

5б. С е α я имеет два контравариантных индекса, он не может быть набором базисных векторов кокасательного пространства. Базис кокасательного пространства предполагается в виде е α я .

г я Дж является отображением пространства векторов в пространство функционалов. Поскольку эти два пространства обычно изоморфны, для конечномерных векторных пространств могут быть изоморфные отображения. Так что нет противоречия, см. physics.stackexchange.com/q/603251 .
сказав это, обозначение, с которого вы начинаете, немного вводит в заблуждение, да
@Cryo: спасибо за ваши комментарии. В списке шагов, не могли бы вы указать, какие из них ошибочны?
Я бы не назвал это ошибочным, но 4. Повышение/понижение индексов - это не тривиальное суммирование, это отображение между двумя векторными пространствами. Отображение не уникально и может даже не быть определено (сингулярная метрика). Возможно, если бы вы привели пример реального расчета, который вы хотите сделать, было бы легче увидеть, как можно сделать это более тщательно. Я бы определил метрику как скалярное произведение между векторами или ко-векторами, а затем использовал бы ее для создания карты между двумя пространствами.
я имел ввиду 4-5, точнее 5
Кажется, я не понимаю, как вы можете оправдать число 3, поскольку это в основном запись e как тензора с ковариантной альфой и контравариантной i
Вы все время пытаетесь свести базисные векторы к компонентам, но вы не можете этого сделать, компоненты являются скалярами, базис состоит из векторов, а для сведения векторов к скалярам вам нужны функционалы по определению. Вы переходите к неявному вызову функционалов, а затем приходите к «противоречию».
@IronicalCoffee: «i» — это индекс, уже присутствующий в обсуждаемом выражении. е я и α это индекс, используемый для идентификации компонента пространства (скажем, α е { т , Икс , у , г , } на примере). α должны быть контравариантными, поскольку эти векторы составляют основу касательного пространства. Таким образом, множество всех векторов касательного базиса становится 2-тензором е я α с одной контравариантной размерностью и одним ковариантным.
@Киро: е я вектор sa (обратите внимание на полужирную букву «e»). Как вектор, он имеет компоненты е я "=" ( е я т , е я Икс , е я у , е я г ) (пример). Я могу выразить это в обозначении индекса как е я α . Не редукция векторов к скалярам, ​​а обычная запись индекса.
@pasabaporaqui Как правило, не слишком доверяйте википедии. Помните, что то, что там написано, может быть не результатом договоренности, а просто настойчивостью какого-то конкретного пользователя, который может быть совершенно не прав. Я нашел несколько ошибочных утверждений в Википедии. Может быть, хорошо получить общее представление, но, по крайней мере, проверьте его ссылки.
@pasabaporaqui Тем не менее, исходное выражение, которое вы пишете, не является повышением индексов. Повышение/понижение индексов действует на тензорные индексы, но " я " в е е я это просто ярлык ; как сказал бы Схоутен, это «часть типографского символа е е ". Честно говоря, мне совсем не нравится это выражение, оно очень вводит в заблуждение. Для определения взаимного базиса не нужна никакая метрика . Если мы разработаем эту формулу в координатах, мы увидим, что " г "пропадает вообще. По поводу вашего пункта 6., е е я являются ковариантными векторами с компонентами е я α .
@pglpm: «i» обычно происходит от е я "=" ф ( … ) ∂ Икс я . Я думаю, что это выражение придает «i» характеристику ковариантного индекса.

Ответы (1)

Я думаю, что ваше замешательство происходит из-за того, что существует несколько разных способов взглянуть на ковариантность и контравариантность.

Старомодный подход к этому вопросу состоит в том, чтобы сказать, что на основании е я для векторного пространства В , мы можем определить двойственный базис для В что мы пишем как е я "=" г я Дж е Дж . В этих рамках оба е я и е я принадлежать В . Соответственно, вектор в е В может быть расширен в терминах исходного базиса или двойственного базиса, т.е. в "=" в я е я "=" в я е я . в я называются контравариантными компонентами в , в то время в я являются ковариантными компонентами в . Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы в я "=" г я Дж в Дж , где г я Дж и г я Дж являются обратными друг другу матрицами.

Внутренний продукт между векторами определяется выражением е я ⋅ е Дж "=" г я Дж . Как результат, е я ⋅ е Дж "=" г я к е к е Дж "=" г я к г к Дж "=" дельта Дж я . Следовательно, мы можем записать скалярное произведение между двумя векторами любым из следующих эквивалентных способов:

в ⋅ ж "=" в я ж Дж е я ⋅ е Дж "=" в я ж Дж "=" в я ж Дж г я Дж

Обратите внимание, что мы никогда не покидали векторное пространство В . Здесь нет понятия двойственного пространства; все происходит в одном векторном пространстве, а контравариантность и ковариантность компонентов вектора или тензора — это просто свойство того, по какому базису вы выбираете расширение вектора или тензора. Это соглашение все еще используется в таких областях, как кристаллография, где е я могут представлять собой векторы решетки некоторого кристалла, а е я — векторы обратной решетки.

Более современная трактовка состоит в том, чтобы сказать, что для векторного пространства В и основа е я , мы можем определить базис ϵ я для (алгебраического) двойственного пространства В * при условии, что ϵ я ( е Дж ) "=" дельта Дж я . Любая невырожденная билинейная форма (например, метрика) определяет изоморфизм между В и В * . Любой вектор в е В имеет ковекторного партнера в ♭ е В * данный

в ♭ "=" г ( в , ∙ )
действие которого на вектор ж е В затем
в ♭ ( ж ) "=" г ( в , ж ) "=" г я Дж в я ж Дж

Этот подход в конечном итоге намного чище, на мой взгляд. Векторы и ковекторы становятся явно разными геометрическими объектами с разными свойствами преобразования, и различия могут проявляться явно независимыми от базиса способами. Однако следует отметить, что старые и новые точки зрения в конечном счете эквивалентны.

Отличный ответ, намного лучше и чище моего. Спасибо
Отличный ответ, я не знал об этой старой точке зрения. Можете ли вы предложить некоторые ссылки? Другое преимущество разделения векторного и ковекторного пространств состоит в том, что оно позволяет нам вводить многие понятия (потоки, дифференциал, параллельная связь и т. д.), опираясь только на (дифференциальные) топологические понятия, не прибегая к метрической структуре.
@pglpm В качестве примеров старого соглашения вы можете обратиться практически к любому вводному тексту по физике твердого тела, в котором обсуждаются кристаллические структуры. У Дэвида Тонга есть несколько заметок в Интернете (см. стр. 52 этих заметок ), или вы можете найти копию одного из стандартных текстов, таких как Ashcroft and Mermin или Kittel. Я определенно согласен с вами; Я думаю, что основным препятствием для принятия этой точки зрения в кристаллографии является то, что это поле повсеместно работает в р н для н "=" 1 , 2 , 3 поэтому мощность и гибкость более общего [...]
[...] многократное лечение, вероятно, не стоит хлопот.
Спасибо. Если у вас есть время, пожалуйста, добавьте некоторые из ваших замечаний и ссылок в этот раздел Википедии, я думаю, что это было бы полезно для многих людей, которые там наткнулись.
@pglpm Я посмотрю, если у меня будет минутка. Я также хотел бы добавить, что даже некоторые (обычно более старые) общепризнанные тексты по теории относительности используют это соглашение. Например, Вайнберг II.5 включает фразу «Хотя любой вектор можно записать в контравариантной или ковариантной форме [...]». Эта книга (и другие подобные ей) полностью работают в индексной нотации, не делают различий между тензором и его компонентами и определяют векторы по их правилам преобразования; не мой предпочтительный стиль, но тот, который существует.
Действительно, метрический тензор появляется повсюду в этих текстах старого стиля (иногда его даже называли «мировым тензором»). Немного удивительно, учитывая, что Схоутен в 1950-х годах имел совершенно ясное различное геометрическое значение (а Картан даже раньше). Я считаю, что «современные» презентации также с большей вероятностью приведут к новым идеям. Например, они ясно дают понять, что сохранение заряда или магнитного потока не имеет ничего общего с метрическими тензорами. Stackexchange также является хорошим средством распространения этой точки зрения.
У меня есть сомнения здесь. Если у нас есть два разных векторных пространства, то если мы говорим о векторе В тогда он может жить либо в одном пространстве, либо в своем двойном (другом) пространстве. Почему тогда книги по ОТО говорят, что этот вектор В является единственным геометрическим объектом и его компоненты в одном пространстве контравариантны, а в дуальном пространстве называются ковариантными. Вектор, у которого есть ковариантные компоненты, живет в другом пространстве, поэтому это другая геометрическая сущность. Почему мы приписываем и контравариантные, и ковариантные компоненты одному и тому же геометрическому вектору, когда ковариантные компоненты относятся к разным геометрическим объектам?
@Shashaank Я не знаю, как ответить на это так, чтобы это заметно отличалось от полного ответа, который я написал. Дифференциальную геометрию можно сформулировать, не говоря о дуальном пространстве как обособленном пространстве, в котором контравариантная и ковариантная компоненты относятся к одному и тому же объекту, выраженному в двух разных базисах . Однако более современный подход, который различает векторное пространство и его двойственное пространство, на мой взгляд, намного чище, поэтому я почти всегда ссылаюсь на эту формулировку.
@ Дж. Мюррей Спасибо. Не могли бы вы сообщить мне, что трактовка, представленная в Кэролле, предполагает трактовку контравариантного и ковариантного векторов как двух совершенно разных геометрических объектов или нет. Кроме того, любая базовая книга, которую вы хотели бы предложить, глубоко объясняет этот вопрос о контрасте и ковариантном векторе как о разных геометрических объектах.
@Shashaank Carroll принимает современную точку зрения и является лучшим вступительным текстом для этой цели, о котором я знаю. MTW также принимает эту точку зрения, давая обширные геометрические изображения ковекторов (он использует терминологию «одна форма» в ожидании разработки структуры дифференциальных форм). Wald — третий такой ресурс (мой любимый текст по GR), но он больше других ориентирован на математическую точность. Контрпример старой школы см. Вайнберг.
@ Дж. Мюррей Большое спасибо. Просто для пояснения Вайнберг использует другой подход, говоря, что вектор имеет как контравариантную, так и ковариантную компоненты, правильно. Я в основном имею в виду только Кэролла, немного побаивающегося пикапа Wald и MTW (он очень тяжелый и длинный). Но я в основном спрашивал чисто математический текст, который касается математики ОТО, дифференциальной геометрии и т. Д. Я обнаружил, что в некоторых моментах в моих математических знаниях есть девушки. Я думал взять чистую математическую книгу. Ты предлагаешь это или мне лучше забрать Уолда?
@Shashaank Я сомневаюсь, что чисто математический текст о дифференциальной геометрии будет легче понять, чем Вальд или MTW, поэтому я бы предложил один из них, если вы хотите большей строгости.
ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j интерпретация
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v