Коммутатор и факторизация собственных функций.

Я думаю, что ваша теорема является в корне ошибочным представлением о pde-факторизации, например, сферически-симметричной системы. Обезразмерив все глупые константы, поглотив их в соответствующих единицах, вы получите что-то вроде$-\Delta +V(r) -E=0$.

Его собственные векторы не являются произведением собственных векторов всех генераторов симметрии (операторов, коммутирующих с гамильтонианом), здесь, среди прочего, три$\vec L$с. Вместо этого вспомните, как переменные этого уравнения разделяются в простой теории pde (ср. разделение переменных ):

$$0=-\Delta +V(r) -E\\ = -\frac{1}{r^2}\partial_r ~r^2\partial_r + \frac{1}{r^2} L^2(\theta,\phi) +V(r) -E ~~~\leadsto \\ L^2 (\theta,\phi) = \partial_r ~r^2\partial_r -r^2 V(r) +r^2 E .$$

Это простое разделение переменных: каждая часть уравнения включает разные переменные, поэтому структура его собственных векторов не пересекается. Собственными векторами левой части являются сферические гармоники,$Y_{lm}(\theta, \phi)$, с собственными значениями$l(l+1)$и собственные векторы правой стороны должны быть функциями только r , но с теми же собственными значениями, т.е.

$$-\frac{1}{r^2}\partial_r ~r^2\partial_r + \frac{l(l+1) }{r^2} +V(r) =E,$$ теперь записано в более знакомой форме, и с E , которое необходимо определить, новое собственное значение для собственных функций$R_{nl}(r)$.

Радиальные собственные функции инертны при$L(\theta,\phi)^2$, но все еще содержат свои собственные значения; а сферические гармоники не зависят от r , но, конечно, не являются собственными функциями$L_x$,$L_y$, только из$L^2$и$L_z$, которые также коммутируют с гамильтонианом, поэтому они являются для него хорошими зарядами симметрии.

Теперь, в других системах координат и для специальных потенциалов, таких как водород, вы можете быть более эффективными (ср. оригинальное решение проблемы SO (4) Паули; может быть хуже, чем изучение этого .), но факторизация pdes обычно руководствуясь симметрией, как вы видели выше. Вам лучше всего рассмотреть выбранные собственные функции операторов симметрии и использовать те, которые меньше всего запутываются с остальными.

Наконец, в тривиальном случае, когда симметрии коммутируют между собой, то, конечно, само гильбертово пространство факторизуется в тензорное произведение; чьи тензорные факторы и, следовательно, волновая функция, фактор и управляются исключительно соответствующим собственным оператором, не обращая внимания на другие тензорные факторы, соответствующие другим операторам. Если ваш инструктор обсуждал этот тривиальный случай, вряд ли целесообразно формализовать его настолько невозможно абстрактно.

---

• Ответ на комментарий к предположительному примеру (1) .

Запишем это в безразмерных единицах,

$$0=-E+\vec p^2 +2k \vec p\cdot \vec S .$$ Не ограничивая общности, для иллюстрации задачи возьмем$\vec S= \vec \sigma /2$. Поскольку задача явно сферически симметрична, мы всегда можем повернуть спин в 3-м (z) направлении, не влияя на его собственные значения! $$0=-E+\vec p^2 +k p_z \sigma_3~~.$$ Задача разделилась на три несвязанных части, $$0=-E+p_x^2+ p_y^2+( p_z^2 +kp_z\sigma_3 ) .$$ Первые две части являются скалярными, а третья представляет собой матрицу 2×2, т. е. действующую на пространстве 2-спиноров.

Собственные значения$E=\vec p^2 \pm kp_z$представляют собой сумму собственных значений каждой части справа для постоянных собственных функций (x), постоянных '(y) и постоянных времен

$$\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix} ; \qquad \begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix},$$ соответственно. Обратите внимание, что последняя собственная функция зависит от собственных спиноров$S_3$только: вы не могли бы диагонализовать все три$S_x,S_y,S_z$одновременно. Собственно, первые два полностью выпали из задачи.

В импульсном пространстве, которое вы превратили в издевательский лаконизм с помощью преобразования Фурье, вряд ли есть какое-то понимание вашей предполагаемой теоремы, и вы должным образом предложили мне не сосредотачиваться на ней. Ваш гамильтониан представляет собой спиновую матрицу 2 × 2, и, очевидно, его собственные векторы являются 2-спинорными.

Я собираюсь попытаться ответить на свой вопрос здесь, так как я думаю, что теперь понимаю, чего мне не хватало раньше.

Мы хотим понять связь между коммутационным соотношением и факторизуемостью собственной функции. Эта ссылка посвящена определению сепарабельных гамильтонианов и правильной интерпретации смысла коммутационных соотношений:

Подумайте о гамильтониане формы:

$$H=H_1+H_2 \tag{1}$$ мы могли бы работать с гамильтонианом, который представляет собой сумму нескольких членов, а не только двух, но обобщение от двух членов до многих членов очень просто, поэтому пока, чтобы облегчить нашу жизнь, давайте придерживаться гамильтониана форма (1). Этот гамильтониан называется сепарабельным, если выполняется следующее коммутационное соотношение: $$[H_1,H_2]=0$$ Это просто определение. Теперь: решающим фактом является то, что для сепарабельного гамильтониана верно следующее:

1. Его собственные значения$E$представляют собой сумму собственных значений двух гамильтонианов$H_1,H_2$: $$E=E_1+E_2$$
2. Его собственные функции$\psi$являются произведением собственных функций$H_1,H_2$: $$\psi=\psi _1 \psi _2$$

Это и есть связь между коммутативностью и факторизуемостью собственных функций! Но мы, конечно, еще не все, мы должны доказать, что все это правда.

Начнем с доказательства: тот факт, что$[H_1,H_2]=0$означает, что мы можем найти общую базу собственных векторов для$H_1,H_2$, это действительно известная теорема. Итак, у нас есть:

$$H_1|E_1,E_2\rangle=E_1|E_1,E_2\rangle$$ $$H_2|E_1,E_2\rangle=E_2|E_1,E_2\rangle$$ но это сразу означает, что: $$H|E_1,E_2\rangle=(H_1+H_2)|E_1,E_2\rangle=H_1|E_1,E_2\rangle+H_2|E_1,E_2\rangle=E_1|E_1,E_2\rangle+E_2|E_1,E_2\rangle$$ так: $$H|E_1,E_2\rangle=(E_1+E_2)|E_1,E_2\rangle$$ И именно так мы доказали пункт один! Теперь нам нужно доказать пункт два, пункт о факторизации собственной функции, из-за которой начались все эти проблемы. Чтобы доказать это, мы должны спроецировать наши уравнения на базу, чтобы перейти от собственных векторов к собственным функциям. Фундаментальное наблюдение здесь следующее:

• Если два различных оператора (например, импульс$p_x$и спина$S_x$) коммутируют, что означает, что: $$[p_x,S_x]=0$$ тогда мы можем думать об этих операторах как о действующих в отдельных гильбертовых пространствах!

Это ключевое наблюдение здесь, потому что оно заставляет нас понять, что если мы хотим спроецировать, мы не можем просто написать:

$$\langle x|H|E_1,E_2\rangle=(E_1+E_2)\langle x|E_1,E_2\rangle$$ это не верно! Вместо этого мы должны написать: $$\langle x_1,x_2|H|E_1,E_2\rangle=(E_1+E_2)\langle x_1,x_2|E_1,E_2\rangle$$ Это верно! Но это компактное обозначение$|a,b\rangle$ не делает нам никакой пользы в этом контексте , вместо этого активно вредит нашему пониманию; лучше перейти к правильному обозначению: $$|a,b\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$$ используя фундаментальный факт (иногда рассматриваемый как постулат), что полное гильбертово пространство является тензорным произведением гильбертовых пространств . Итак, у нас есть: $$(\langle x_1| \otimes \langle x_2|)H(|E_1\rangle \otimes |E_2\rangle)=(E_1+E_2)(\langle x_1| \otimes \langle x_2|)(|E_1\rangle \otimes |E_2\rangle)$$ Это можно переписать следующим образом: $$H'(\langle x_1| \otimes \langle x_2|)(|E_1\rangle \otimes |E_2\rangle)=(E_1+E_2)(\langle x_1| \otimes \langle x_2|)(|E_1\rangle \otimes |E_2\rangle) \tag{2}$$ Ты это видишь$(\langle x_1| \otimes \langle x_2|)$прыгнул слева направо от гамильтонова оператора, это связано с тем, что мы спроецировали гамильтонов оператор на пространство$x_1,x_2$, означающий, что$H'$ теперь больше не является оператором, который действует на кеты, а вставляет оператор, который действует на функции! (Эта процедура действительно распространена в QM и$H'$обычно просто называют$H$, даже если он больше не действует на кеты, это может быть довольно запутанным, если не указано явно) Хорошо, у нас есть (2); что теперь? Теперь мы помним правило скалярного произведения для произведений в разных гильберовых пространствах! (вы можете найти все об этом здесь ) Применение определения внутреннего продукта (скалярного продукта) к нашему уравнению (2) дает: $$H\langle x_1|E_1\rangle \langle x_2|E_2\rangle=(E_1+E_2)\langle x_1|E_1\rangle \langle x_2|E_2\rangle \tag{3}$$ но поскольку, конечно, собственные функции$H_1,H_2$определяются как (и это, конечно, исходит из определения самой волновой функции): $$\psi _1 = \langle x_1| E_1 \rangle$$ $$\psi _2 = \langle x_2 | E_2 \rangle$$ следует, что из (3) мы можем немедленно вывести (переписать, правда): $$H\psi_1\psi_2=(E_1+E_2)\psi _1\psi_2$$ И это доказывает наш драгоценный пункт 2! Мы сделали!

Чтобы волновая функция была произведением, необходимо и достаточно иметь дело с разделенными переменными в уравнении Шредингера.

Если операторы$\hat{O}_n$ездить с$\hat{H}$, затем$\Psi_E$может быть собственным состоянием для каждого рассматриваемого оператора.