Эквивалентность интервалов с октавами между ними

Скажем, мы играем на фортепиано одновременно C4 и G4, останавливаем ноты, затем одновременно играем D4 и A4, тогда качество этого звука такое же, как и качество первого.

Чтобы понять, почему это так, я прочитал о просто интонации и ровном темпераменте.

Физически мы генерируем волны, которые распространяются по воздуху, поэтому, чтобы все упростить, я обратился к программе под названием desmos, где вы можете моделировать волны.

Я создал аналогичную ситуацию , сначала притворившись, что нота с частотой, равной 2π (период синусоиды по умолчанию), была нотой в системе равной темперации.

Затем, чтобы получить ноту, которая является идеальной квинтой выше этой ноты, мы должны умножить исходную частоту на 2 ^ (7/12), это эквивалентно подъему на семь полутонов вверх, что является определением идеальной квинты.

Затем, поскольку в пианино используются молоточки, которые вибрируют струны, а затем, когда волны давления складываются в воздухе, прежде чем достигнуть наших ушей, я возьму суммирование исходной синусоиды и второй синусоиды, частота которой равна 2^( 7/12) умноженной на исходную частоту волн, это то, что f1(x) + g1(x) представляет на десмосе.

Далее, чтобы представить ту же ситуацию, но с обоими тонами, повышенными на два полутона, я провожу тот же эксперимент, но с f1(2^(2/12)*x) + g1(2^(2/12)*x) (в десмосе Я делаю две новые функции и даю им смещение, чтобы вы могли видеть их ниже). Визуально мы можем видеть, что волна, сгенерированная этой суммой, идентична первой, но с масштабированием по оси x.

Математически мы можем видеть, что новая волна имеет период, который в 1/(2^2/12) больше исходного периода. Поскольку период короче, это соответствует более высокой частоте и высоте тона, поэтому воспроизведение этих двух нот вместе должно иметь точно такое же качество, но только выше.

После этого я задался вопросом, почему при озвучивании аккордов на фортепиано нам обычно разрешают перемещать ноты по октавам, чтобы звучание было более четким, без фактического изменения аккорда.

Для этого рассмотрим ситуацию, аналогичную первому, что мы сделали. Скажем, мы играем в C4 и G4, тогда, основываясь на том, что я узнал, игра в C4 и G5 также должна давать волну того же качества.

Экспериментально мы бы сравнили волну, генерируемую f(x) + g(x), а затем f(x) + g(2x), поскольку это представляет сдвиг на одну октаву вверх.

После этого волны, которые были сгенерированы обоими вышеупомянутыми суммами, имели совершенно разные качества:

разные качества

Может ли кто-нибудь объяснить, почему C4 и G4 играли одновременно, а C4, играемый с G5, должны иметь одинаковые качества?

Меня беспокоит термин «качество». Вряд ли это объективный термин, и он может иметь множество различных значений.
Правильно: когда я говорю о качестве, я имею в виду форму производимой волны. Я сказал, что последние два имеют разные качества, потому что вы не можете масштабировать их по оси X, чтобы получить другой. Я просто пытаюсь понять, почему мы можем перемещать эти интервалы на октавы и по-прежнему представлять один и тот же аккорд.
Было бы лучше, если бы вы могли видеть хотя бы два цикла/периода второй волны.
@ElementsinSpace, да, я исправил опечатку. Вторую волну можно увидеть с нужным количеством циклов по ссылке - desmos.com/calculator/werca8k9vm
@cuppajoeman ах да, мне нужно было просто щелкнуть ссылки в вопросе. Спасибо
Возможно связанный вопрос: music.stackexchange.com/questions/44783/…

Ответы (3)

Я думаю, что ваше замешательство связано с тем, что вы генерируете синусоидальные волны для сравнения.

Синусоидальные волны отлично подходят для понимания конструктивной и деструктивной интерференции, но они довольно далеки от того, что генерирует пианино.

На любом инструменте «реального мира» создаваемая звуковая волна состоит как из основного тона, так и из всех обертонов. Именно изменение распределения обертонов (относительная интенсивность каждого обертона по отношению к основному тону) создает тембр.

Когда вы играете на фортепиано ноту C4, пианино воспроизводит смесь нот C4, C5, G5, C6, E6, G6, Bb6, C8... производимая высота тона не совсем соответствует строю 12TET, который мы используем, поэтому обертоны, начиная с Е6, немного «расстроены», но они также становятся слабее по мере подъема.

Так как фактическая волна для C4 включает C5 и G5, компоненты волны будут хорошо совпадать с D4 и A4 — они будут отличаться только интенсивностью своего распределения. Другими словами, пики и впадины будут находиться в точно таком же относительном положении, но амплитуды будут немного отличаться.

РЕДАКТИРОВАТЬ: некоторые иллюстрации могут помочь. Вот идеальная квинта только с основами .

Вот инструмент «реального мира» с основным звуком и тремя обертонами . Каждый обертон составляет 50% интенсивности предыдущего.

А вот этот «реальный» инструмент в сочетании с основной 12-й ступенью выше — квинтой в следующей октаве — без обертонов.

Это все еще проще, чем то, что происходит с реальными инструментами, но вы можете видеть, как совпадают пики и впадины.

Ах, это действительно помогает, я только что провел новый эксперимент с десмосом, где вы можете сравнить сумму двух с обертонами и без них. Установка представляет собой сумму ноты и ноты на k полутонов выше. Красный — это только основа, черный с непрозрачностью 0,5 — с 3 обертонами. Оранжевый — это сумма ноты и ноты на k + 12 полутонов выше с теми же 3 обертонами. Я наложил их друг на друга — и вы можете видеть, что они вполне прилично совпадают. ( desmos.com/calculator/qqrpbgdmi1 - измените k, чтобы увидеть разные волны).
После всего этого у меня все еще есть один вопрос, означает ли это, что если бы у вас была какая-то клавиатура, которая просто воспроизводила чистые синусоидальные волны, и вы слушали ее через наушники, которые играли бы идеальную квинту, а затем играли бы идеальную квинту с дополнительным октава между ними, чтобы волны выглядели как изображение внизу моего первого поста, а затем, поскольку нет обертонов, у него все еще не было бы характеристик идеальной квинты? Означает ли это, что электронные инструменты искусственно добавили обертоны, чтобы они звучали правильно?
Вы можете настроить генераторы тона для получения чистых синусоидальных волн. Но большинство электронных инструментов на самом деле добавляют обертоны, потому что чистые синусоидальные волны не очень полезны для создания музыки. Сопоставление двух синусоидальных волн должно выглядеть как ваше изображение. Это будет звучать как другая банка червей, потому что мы приближаемся к психоакустике.
Я понимаю. Наконец, на электрогитаре, как туда включаются основы? Я знаю, что сигнал является аналогом вибрации струны, но я думал, что гармоники исходят от вибрации корпуса инструмента, гармоники тоже создаются самими струнами?
этот ответ подразумевает, что ответ на вопрос ОП «почему при озвучивании аккордов на фортепиано нам обычно разрешается перемещать ноты на октавы, чтобы озвучивание было более четким без фактического изменения аккорда», заключается в том, что эти свободные озвучивания являются следствием гармоники реальных инструментов и не работают с чистыми синусоидами. этот вывод совершенно неверен.
@cuppajoeman - гармоники исходят от струны. Вибрирующая струна имеет «волну» вибрации, движущуюся в обоих направлениях от точки, где ее защипнули, и после отражения от порожка/седла она интерферирует сама с собой. Это небольшое упрощение, но гармоники не производятся телом.
@ Эстер - ты читаешь об этом что-то, чего там нет. ОП не спрашивал о фортепианных аккордах, и я не обращался к ним. Вопрос об акустике, а именно о том, почему 12-я и 5-я взаимодействуют по-разному. Ответ заключается в том, что это верно для синусоидальных волн, но в гораздо меньшей степени для любого инструмента, потому что они также производят обертоны.
Я прямо процитировал соответствующую часть вопроса.
@Esther - если бы вы щелкнули ссылку в его предложении «Давайте рассмотрим аналогичную ситуацию», вы бы увидели, что заданный вопрос, который следует за этим утверждением, касается взаимодействия чистых синусоидальных волн в 12TET, а не фортепианных голосов. Я обратился к вопросу, который он на самом деле задал, а не к тому, что вы сочли важной частью.

Идея, что вы можете сыграть ноту в другой октаве, и это будет в основном та же самая нота без изменения гармонии, называется « эквивалентностью октавы ». Обратите внимание, что это не называется «равенством октав». Когда люди говорят, что вы можете изменить звучание аккорда, перемещая ноты вверх или вниз на октаву, они не утверждают, что вы получите точно такой же звук, но основная гармония не изменится. (И даже тогда, если вы измените, какая нота будет басовой или верхней, то есть если другое звучание аккорда будет другим обращением аккорда, это вполне может изменить ваше восприятие гармонии.)

Я не думаю, что выбор терминологии «эквивалентности октав» так уж важен. (В конце концов, равенство — это отношение эквивалентности?)
@ Эдвард, возможно, формулировка была выбрана не так тщательно, когда термин был изобретен, но в этом есть смысл. Равенство — это не просто отношение эквивалентности, это отношение эквивалентности, управляющее всеми отношениями эквивалентности. (а=б ⇒ а~б). Но большинство эквивалентностей представляют собой скорее отношения «общих признаков», и это действительно так в случае октавной эквивалентности.

Ответ об эквивалентности октав, по сути, правильный, но если пойти дальше, то способ, которым мы воспринимаем ноты, странен и не совсем точно отражает «лежащую в основе физическую реальность» звуковых волн (например, литавры имеют высоту тона, а ударные установки — нет). 't, хотя у томов явно есть основная частота, как у литавр; и на самом деле, мы иногда слышим ударные установки с такой же высотой тона , но только тогда, когда контекст побуждает нас к этому) ; и теория музыки работает с набором произвольных категорий поверх этого субъективного восприятия. Иными словами, волновые диаграммы не дадут реального понимания вопросов об эквивалентности интервалов.

Самый «научный» ответ, который вы получите на вопрос «почему совершенная 12-я гармонически такая же, как и совершенная квинта», — это «эквивалентность октав»; но эмпиризм борется здесь, потому что:
(а) наше понятие «одинаковости» здесь определено произвольно, они «одинаковы», потому что, idk, кажется, что это не влияет на удовольствие людей от музыки, когда мы относимся к ним как к одному и тому же , и
(б) «идеальная квинта» может относиться к гораздо более широкому спектру интервалов, чем вы могли бы ожидать, не существует точного математического определения «идеальной квинты», которое на самом деле охватывало бы широкий спектр звуков, считающихся «идеальными квинтой» в реальной жизни. -мировая музыка.

Волны выглядели бы почти так же, если бы мы использовали идеальные квинты в «идеальном» пифагорейском соотношении 3:2 вместо соотношения 12TET в OP, верно? Я не думаю, что ваше утверждение о том, что «не существует точного математического определения «идеальной квинты», которое на самом деле охватывает широкий спектр звуков, считающихся «идеальными квинтой» в реальной музыке», действительно имеет здесь значение.
@Dekkadeci Да, но я думаю, что ОП имеет право использовать пропорции, которые мы на самом деле играем в музыке, а не какое-то приближение, которое оказывается исторически значимым. То есть, если предположить, что они вообще спрашивают о музыке, удивительно спорная позиция, судя по популярности ответа.
По крайней мере, если квартеты парикмахерских являются каким-либо признаком (те, которые используют только интонацию для этих знаменитых седьмых аккордов парикмахерских), я сильно подозреваю, что мы поем соотношение 3: 2 для идеальных пятых, и это соотношение 12TET является приблизительным.
@Dekkadeci Дело в том, что ОП заметил, что в значительной части музыки реального мира (конечно, не во всей, квартет для парикмахерских и струнный квартет являются заметными исключениями) звуковые волны, соответствующие идеальному 12-му, будут выглядеть совсем иначе, чем звуковые волны, которые соответствуют совершенной квинте. Их вопрос, насколько я могу судить, заключается в том, почему мы слышим их эквивалентными, несмотря на это несоответствие. Тот факт, что интервалы не могут быть сведены к одной окончательной/канонической волновой форме, кажется важным в этом контексте.
Эквивалентность интервалов с октавами между ними
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v