Откуда берется iii в уравнении Шрёдингера?

Позволять$U$быть унитарным оператором . Напишите

Унитарность означает$U^\dagger U=\mathbb I$, т.е.

Следовательно, если$U^\dagger U=\mathbb I$, мы должны иметь

Как мы можем это заархивировать? Мы всегда можем переопределить оба$\epsilon$а также$A$чтобы$\epsilon$это реально. Если вы сделаете это, мы получим$A^\dagger=-A$, т.е.$A$является антиэрмитовым. В принципе, это совершенно справедливо, но мы можем сделать лучше.

Если мы выберем$\epsilon$воображаемый, мы получаем$A^\dagger=A$. Этот вариант нам нравится больше, потому что нам нравятся эрмитовы операторы. Если$A$следует отождествлять с гамильтонианом, лучше иметь$\epsilon$воображаемый, потому что иначе$H$не может быть эрмитовым (т. е. наблюдаемым).

Обратите внимание, что Сасскинд пишет$U=\mathbb I-i\epsilon H$вместо$U=\mathbb I+i\epsilon H$. Этот отрицательный знак — просто условность, это то, что делают все, но в принципе это может быть$+$знак. Этот знак не влияет на физику (но мы должны быть последовательны в своем выборе). Это похоже на некоторые ОДУ в классической механике (управляемый гармонический осциллятор, схемы RLC и т. д.), где мы используем анзац$x(t)=\mathrm e^{-i\omega t}$, со знаком минус по историческим причинам.

Итак, включаем фактор$i$в$U$, и мы придем к уравнению Шрёдингера. Если бы мы не включили$i$, мы бы получили

Не важно что$\psi(y,0)$то есть это решение нераспространяющееся, неколебательное и затухает во времени. Поэтому «частицы», описываемые уравнением теплопроводности, не двигаются, а медленно исчезают! (например, «стационарные» решения имеют вид$\psi(x,t)=\mathrm e^{-Et}\phi(x)$, которая стремится к нулю, как$t\to \infty$).

Также, если бы не$i$в уравнении Шредингера,$\int\mathrm dx\ |\psi(x,t)|^2$не будет зависеть от времени, поэтому общая вероятность изменится во времени, и это не имеет смысла. Следовательно$i$в уравнении Шрёдингера делает возможной борновскую интерпретацию волновой функции!

Некоторые вещи, которые вы, возможно, захотите проверить:

• Непрерывные группы, группы Ли и алгебры Ли, например, в http://www.cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter7.pdf.

• Теорема Вигнера : симметрии реализуются через линейные/унитарные операторы или через антилинейные/антиунитарные операторы.

• Оператор переноса : в квантовой механике (и, в некотором смысле, в классической механике) переносы пространства/времени представляются через унитарные операторы, где генераторами таких операций являются операторы энергии/импульса.

• Спектральная теорема : эрмитовы операторы имеют действительные собственные значения.

• Принцип максимума уравнения теплопроводности: если$\psi(x,t)$решает уравнение теплопроводности и$t_2>t_1$, тогда$\psi (t_2,x)\le \psi(t_1,y)\ \forall x,y$, что значит$\psi$«убывает» во времени (следовательно, вероятность «уничтожается», или «частицы исчезают»).

• Шредингер против уравнений теплопроводности

Как правило,$i$не обязательно должно быть там: мы можем просто определить временную эволюцию как$e^{tK}$, но потом$K$будет антиэрмитовым. Это действительно не имеет значения. Я предполагаю, что удобнее иметь дело с эрмитовыми операторами, поэтому люди просто учитывали$i$:

Моя слабая интуиция, почему$i$появляется в уравнении Шредингера, сводится к логарифму унитарной матрицы, равной$i$раз эрмитова матрица, и дифференциальные уравнения, стремящиеся возводить вещи в степень.

Все квантовые операции унитарны (кроме измерения, в зависимости от вашей любимой интерпретации). Унитарные матрицы обладают множеством замечательных свойств. В частности, их собственное разложение имеет перпендикулярные собственные векторы с собственными значениями из комплексной единичной окружности. Символически:

Где каждый$\theta_k$находится между$0$а также$2 \pi$, и$v_k$все взаимно перпендикулярны.

Если вы хотите превратить унитарную матрицу в непрерывное действие во времени, вам нужно ее интерполировать. Вы можете сделать это, либо возведя его в дробную степень, например$U_t = U^t$, или путем масштабирования его логарифма в экспоненциальном виде, например$U_t = e^{t \ln(U)}$. Мы собираемся использовать логарифмический подход, потому что он более элегантный и более полезный для дифференциальных уравнений (* кашель * * кашель *).

Поскольку у нас есть собственное разложение для$U$с точки зрения$e^\text{whatever}$, логарифм имеет очень красивый вид. Углы фазовых множителей падают:

Здесь мы определили$H$в терминах собственного разложения с перпендикулярными векторами, масштабированными действительными собственными значениями. Следовательно$H$является эрмитовым. Итак, логарифм унитарной матрицы равен$i$умножить на эрмитову матрицу, и наша интерполяция-возведением-в-степень-масштабированного-логарифма становится:

Если бы вы были внимательны, вы бы увидели, где$i$пришли из.

• Первоначально он появился из-за того, что унитарные матрицы применяют фазовые множители только к своим собственным векторам, поэтому их собственные значения подобны$e^{i \theta_k}$.
• Когда мы вычислили логарифм, чтобы интерполировать эффект унитарной матрицы,$i$выпало из экспоненты и ускользнуло от суммы.
• Оставшаяся сумма представляла собой эрмитову матрицу.

Поскольку мы хотим, чтобы наше дифференциальное уравнение имело унитарные решения, а дифференциальные уравнения склонны возводить в степень, нам лучше положить$i$умножить на эрмитову матрицу.

1. The $i$выводится из уравнения неопределенности Гейзенберга.

2. Что же касается важности$i$будучи там, он математически показывает, «что очень реальная часть будущего зависит от воображаемой части настоящего».

Вы можете вывести уравнение Шредингера, зная$E=\hbar \omega$а также$p=\hbar k$. Возьмите общую волну и подействуйте на нее градиентом или производной по времени, и вы получите операторы энергии и импульса:

$\psi(\vec x, t) = \psi_o e^{i(\vec k x - \omega t)} \\ \nabla \psi = ik\psi \rightarrow \nabla = ip/\hbar \rightarrow \hat p = -i\hbar \nabla \\ \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = -i\omega \psi \rightarrow \dfrac{\partial}{\partial t} = -iE/\hbar \rightarrow \hat E = i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$

Затем поместите операторы энергии и импульса в гамильтониан.

$H = T+V \\ \hat E = \dfrac{\hat p^2}{2m}+\hat V \\ i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}\psi = \dfrac{-\hbar^2 \nabla^2\psi}{2m}+V\psi$

Вуаля!