Почему гамильтониан следует свойству H∗ij=HjiHij∗=HjiH^*_{ij} = H_{ji} ?

Итак, давайте наладим это дело.

Свойство, о котором вы говорите, называется разными именами, которые вы можете найти в Google: например, что матрица Гамильтона должна быть самосопряженной (где сопряженное - это сопряженное транспонирование) или эрмитовой .

Самое простое свойство эрмитовых матриц, которое можно доказать, состоит в том, что они имеют действительные собственные значения для их определяющей характеристики.$\langle H \psi| \psi\rangle = \langle \psi| H \psi\rangle$сочетается с недвижимостью$\langle a | b\rangle = \left(\langle b | a\rangle\right)^*$сказать, что определенное число («математическое ожидание») равно своему собственному сопряженному, что верно только для действительных чисел.

Как это связано с сохранением вероятности? Полная вероятность

$$P = \sum_i C_i^* ~ C_i$$ и уравнение Шредингера 8.39, которое он представляет: $$i\hbar\,\frac{\rm dC_i}{\rm dt}=\sum_jH_{ij}(t)C_j(t).$$ Следовательно, сопряженное выражение должно быть: $$-i\hbar\,\frac{\rm dC_i^*}{\rm dt}=\sum_jH_{ij}^*(t)C_j^*(t).$$ Теперь возьмем производную от $P$с правилом продукта, как: $$\begin{align}i\hbar \frac{dP}{dt} &= i\hbar \sum_i \left({\rm dC_i^*\over \rm dt} ~ C_i + C_i^* ~ {\rm dC_i\over \rm dt}\right)\\ &= \sum_{ij}\left(C_i^* ~H_{ij} ~C_j - H_{ij}^* ~C_j^*~ C_i\right)\end{align}$$ Теперь мы проделаем грязный трюк: мы разделим эту сумму на два ее члена и перенумеруем каждую часть суммы по-разному. В первом слагаемом берем $i \mapsto m$и $j \mapsto n$. Но во втором члене возьмем $i \mapsto n$и $j \mapsto m$. Затем мы объединяем оба термина вместе, чтобы найти: $$i\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \sum_{mn}\left(C_m^* ~H_{mn} ~C_n - H_{nm}^* ~C_m^*~ C_n\right),$$ и, объединяя подобные термины: $$i\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \sum_{mn}C^*_m~C_n \left(H_{mn} - H_{nm}^*\right).$$ Смысл в том, что если мы хотим $\rm dP/\rm dt = 0$для всех $C_n$(общая вероятность не ускользает из системы), то мы должны иметь, что матрица в скобках является 0-матрицей.

Почему? На самом деле это не так уж сложно увидеть. Если мы украдем$i$слева, чтобы определить

$$D_{mn} = -i \left(H_{mn} - H_{nm}^*\right),$$ тогда мы точно знаем, что $D_{mn}$является эрмитовым по построению. (Просто возьмем его сопряженное транспонирование, уверяю вас.) Поскольку оно эрмитово, оно никогда не бывает дефектным , и мы можем диагонализовать его с действительными собственными значениями по диагонали. Теперь любое из этих собственных значений $\lambda$отличен от нуля, и в этом случае мы можем использовать соответствующий собственный вектор как $C_n$выше и получаем $\hbar \frac{\rm dP}{\rm dt} = \lambda \sum_m C_m^* C_m = \lambda P$, что нарушает сохранение вероятности, иначе все собственные значения равны 0, и это выражение является 0-матрицей. Но нулевая матрица имеет нулевые компоненты во всех основаниях, а не только в собственном основании, поэтому, следовательно, $H_{mn} = H^*_{nm}$в общем.

Если это свойство не выполняется, то$H$не является эрмитовым. Это означает, что его собственные значения могут быть комплексными, а оператор временной эволюции не будет унитарным:$U(t)U(t)^\dagger=e^\frac{iHt-itH^\dagger }{\hbar} \neq1$

Если он не унитарный, то он изменит длину ваших векторов состояния, которые вы развиваете. Поскольку длина этих ($\sum_i |C_i(t)|^2$) векторы представляют собой сумму вероятностей, ваша общая вероятность не сохранится.

На самом деле он имеет в виду тот математический факт, что для стандартной нормы (длины)$n$-кортеж$[C_j]_{j=1,2,...n}$сохраняться в процессе эволюции, определяемой уравнением

$$\frac{\rm dC_i}{\rm dt} = -\frac{i}{\hbar} \sum_j H_{ij} C_j$$ где $H_{ij}$комплексная матрица, не зависящая от времени, эта матрица должна быть эрмитовой, т.е. удовлетворять условию для всех пар $i,j$,

$$H_{ij}^* = H_{ji}.$$

Это можно доказать, исходя из условия постоянства квадрата нормы во времени:

$$\frac{\rm d}{\rm dt}\bigg(\sum_i C_i^*C_i\bigg)=0$$

и используя приведенное выше дифференциальное уравнение.

Фейнман просто перефразирует это и использует термин «полная вероятность» вместо «квадрат нормы», потому что обычно интерпретируется$|C_i|^2$как вероятность того, что$i^{\textrm{th}}$собственное значение$H$будет измеряться.