Можем ли мы понять гамильтониан a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa?

Если у меня есть гамильтониан, заданный

ЧАС "=" а † а † + а а
где, [ а , а † ] "=" 1 , Могу ли я понять это, обобщив понятие вакуума?

Если нет, то с какими неприятностями я столкнусь? Были ли рассмотрены такие гамильтонианы?

Чтобы было ясно, вы спрашиваете об этом гамильтониане отдельно или как о части большего гамильтониана с другими терминами в нем?
На самом деле мой гамильтониан ЧАС "=" ∑ я , Дж Дж я , Дж а я † а Дж † + час . с . где J_{i,j} — некоторая симметричная константа.
... без других терминов, например а † а совсем? Это было бы довольно удивительно и свидетельствовало бы о глубоких проблемах с теорией, как в ответе Кнчжоу. Однако, если эти члены возникли из реалистичной физической модели, они также будут сопровождаться ограниченными квадратичными членами (т. е. а † а и тому подобное), которые оттянут гамильтониан от обрыва.
Что ж, я пытался изучить модель, вдохновленную SYK и Берри-Китингом, предложенную ЧАС "=" ∑ я < Дж Дж я Дж ( Икс я п Дж + п Дж Икс я ) , при введении лестничных операторов я получу такие термины. Но я думаю, что я должен включить взаимодействие, которое дало бы мне ЧАС 0 "=" а я † а Дж вид термина. Что вы думаете ?
Ан Икс п гамильтониан так же неограничен снизу, как п 2 − Икс 2 один (просто поверните на 45° в фазовом пространстве), и это в равной степени нефизично. Если вы хотите активно постулировать нефизические гамильтонианы, то вы знаете, что произойдет.

Ответы (3)

Нет, основное состояние не определено четко, потому что энергия не ограничена снизу. Чтобы увидеть это, переключитесь обратно на переменные Икс и п с использованием а ∼ Икс + я п найти

ЧАС ∼ п 2 − Икс 2 .
Это гамильтониан для частицы в потенциале, который просто отталкивает ее дальше от начала координат, так что вы можете сделать энергию настолько отрицательной, насколько хотите, и нет основного состояния, по которому можно было бы расширяться. В качестве альтернативы, если вы перевернете знаки и получите ЧАС ∼ Икс 2 − п 2 , вы получаете частицу с отрицательной массой, и снова вы можете получить сколь угодно отрицательную энергию, делая ее все быстрее и быстрее.

Эта проблема не решается применением преобразования Боголюбова. Эти преобразования диагонализируют гамильтонианы вида

ЧАС "=" а † а + α ( а а + а † а † ) .
Однако для достаточно больших | α | , преобразования Боголюбова не существует, и уж тем более здесь, где α бесконечно. Этот сбой напрямую соответствует тому факту, что основного состояния не существует, поэтому вы не можете определить новое основное состояние. | Ом ⟩ и волнения по этому поводу.

... то есть гамильтонианы этой формы совершенно в порядке, если они сопровождаются подходящим сильным нормальным членом, например, формы ю а † а .

Этот гамильтониан типичен для параметрических процессов преобразования с понижением частоты, когда сильное поле (обычно когерентное состояние, параметризованное α ) взаимодействует с некоторой средой, производя два фотона а † а † . Гамильтонианы имеют несколько более общий вид

ЧАС ∼ α * а ^ а ^ + α а ^ † а ^ † .
В вашем конкретном случае фотоны будут вырожденными (одинаковые частоты). См. уравнение (23.12) этих лекций в качестве примера. Это описано во многих учебниках по квантовой оптике.

Этот гамильтониан используется для генерации сжатых состояний согласно уравнению (17) этой статьи (можно настроить фазу между членами, чтобы она была − 1 если нужно).

Наконец, обратите внимание, что операторы

К + "=" 1 2 а ^ † а † , К − "=" 1 2 а ^ а ^ , К 0 "=" 1 2 ( а ^ † а ^ + а ^ а ^ † )
охватывать алгебру Ли с ты ( 1 , 1 ) так что ваш гамильтониан в основном "буст" К Икс . Я не помню собственных состояний К Икс как дискретный, но Google не смог найти полезную ссылку, и я могу ошибаться.

Действие ЧАС ∼ К Икс (или его экспоненциальная, если вам нужна эволюция во времени) прекрасно определяется на состояниях гармонического осциллятора и выражается через С U ( 1 , 1 ) групповые функции, заданные Ui в этой статье

Однако важно отметить, что применительно к SPDC этот гамильтониан является приближением, в котором считается, что фоновый лазер накачки находится в классическом пределе интенсивного когерентного состояния.
@EmilioPisanty Действительно! Если вы включите истощение насоса, гамильтониан будет кубическим в операторах, и вы окажетесь в пресловутом ручье без весла.

Я не верю, что у вас есть правильное представление об энергии основного состояния. Обычно мы предпочитаем что-то вроде а † а потому что мы можем иметь формальное представление о ⟨ 0 | а † а | 0 ⟩ . Таким образом, даже если вы измените свое определение того, что делают операторы создания и уничтожения, чтобы | 0 ⟩ , вы не должны получить из этого никакой новой физики. Если бы это действительно всплыло где-нибудь в физике, было бы интересно.

Можем ли мы понять гамильтониан a†a†+aaa†a†+aaa^\dagger a^\dagger + aa?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v