Эквивалентны ли «Если P, то Q» и «Q, только если P»?

В математической логике P → Q следует читать:

«если P , то Q », а также: « P , только если Q ».

Таким образом, « Q , только если P » есть Q → P , что не эквивалентно P → Q.

Вы можете увидеть также этот пост , а также этот .

Вот еще один способ взглянуть на это.

Утверждение X тогда и только тогда, когда Y выражает логическую эквивалентность X и Y и записывается как X ⇔ Y .

Это соединение двух кондиционалов X ⇒ Y и Y ⇒ X .

Конъюнкт «если» соответствует Y ⇒ X , а конъюнкт «только если» соответствует X ⇒ Y .

Тогда должно быть очевидно, что утверждение «если P, то Q» не эквивалентно «Q, только если P».

В вашем 1-м утверждении есть последствия, которые делают его ложным! Единственный способ сделать это правдой, если бы все и только зеленые лягушки были ядовитыми. Тогда верно второе утверждение, ядовитое только в том случае, если оно зеленое. Примером этого может быть, если вы поместите зеленых ядовитых лягушек в комнату вместе с неядовитыми фиолетовыми, оранжевыми, желтыми и т. д. лягушками. В этих условиях оба утверждения: если зеленый, то ядовитый и ядовитый, только если зеленый, были бы верны!

Нет; они не. Пожалуйста, ознакомьтесь с моим интуитивно понятным объяснением, расположенным в Math SE здесь , которое я не могу воспроизвести здесь, потому что в Philosophy SE отсутствует форматирование MathJax по состоянию на декабрь 2015 года.

Поскольку ваш вопрос «что я делаю неправильно», вы делаете одну из двух возможных ошибок:

Во-первых, вы совершаете ошибку «апелляция к авторитету». Вы верите этому утверждению, потому что нашли его в своем учебнике. Однако утверждение неверно: «Если P, то Q» и «Q, только если P» не эквивалентны .

Другая и, откровенно говоря, более вероятная ошибка заключается в том, что вы неправильно прочитали то, что написано в вашем учебнике. Возможно, в учебнике был раздел под названием «покажите, какие из следующих утверждений верны, а какие нет».

Простой пример, когда утверждения не эквивалентны: «Если человек — мужчина, то этот человек — человек» и «Человек — человек только в том случае, если этот человек — мужчина».