Индуктивные и дедуктивные аргументы и математическая индукция

Рассмотрим аргумент, представленный в OP, который, как утверждается, похож на математическую индукцию:

(i) P(1) истинно, т. е. P(n) истинно для n = 1. (например, Адам = 1)

(ii) P(n+1) истинно всякий раз, когда P(n) истинно, т. е. P(n) истинно означает, что P(n+1) истинно. (Любой = n+1, Адам = n)

Тогда P(n) верно для всех натуральных чисел n. (Адам счастлив.)

В математической индукции n перемещается по области натуральных чисел, которые имеют первый элемент (1) и связаны отношением порядка, так что по некоторому натуральному числу n мы можем найти следующее. Это позволяет математической индукции охватывать все натуральные числа после того, как кто-то показал что-то о первом, а затем дал произвольное натуральное число, в котором также есть что-то, и показано, что следующее тоже имеет это что-то.

Рассмотрим пример. В первом предложении домен неясен. Конечно, Адам является членом домена. Во втором предложении есть «любой», предполагающий, что в домене больше элементов, чем Адам. В заключение все, что мы знаем, это то, что Адам счастлив. Есть ли еще кто-нибудь в домене, кроме Адама? Возможно, Адам — единственный элемент в домене.

Кроме того, если предположить, что помимо Адама в домене есть другие, скажем, Мария, существует ли порядок элементов в домене, как в натуральных числах, так что после Адама у нас есть еще один элемент, скажем, Джо, а перед Марией есть кто-то, скажем, , Джейн? Маловероятно, что этот порядок существует.

Наконец, в первом предложении говорится, что Адам — это 1. Это означает, что Адам не является n, если только n не идентично 1. Для индуктивного шага в математической индукции мы берем произвольное n из натуральных чисел, которое будет соответствовать произвольному человеку. из области людей, которых мы рассматриваем. Мы бы не взяли конкретное число, такое как 1 или даже 10, а произвольное натуральное число, и поэтому оно не указано как n . Таким образом, заявление об Адаме как n не будет работать, если домен не включает только Адама.

Пол Теллер дает хорошее наблюдение о разнице между индукцией и дедукцией после предупреждения: «Не позволяйте никому говорить вам, что эти термины имеют строгие определения» (стр. 3):

Мы склонны называть аргумент « дедуктивным », когда утверждаем, предполагаем или просто надеемся, что он дедуктивно обоснован. И мы склонны называть аргумент « индуктивным », когда хотим признать, что он не является дедуктивно достоверным, но хотим, чтобы его посылки стремились сделать вывод вероятным.

Даже первое утверждение, что «Адам = 1», подразумевающее, что Адам счастлив, является индуктивным. Все, что мы знаем, это некоторые предпосылки об Адаме, перечисленные ранее.

Сегодня Адам много улыбался.

Сегодня Адам совсем не нахмурился.

Сегодня Адам сказал людям много приятных слов, и ни одного недружелюбного.

Вывод не является дедуктивным, потому что эти три предпосылки могут быть верными, но Адам может быть не совсем счастлив. Как упоминает Теллер (стр. 3), «... предпосылки не исключают возможности того, что Адам просто притворяется счастливым».

Ссылка

Теллер, П. (1989). Учебник по современной формальной логике. Прентис Холл. http://tellerprimer.ucdavis.edu/

Рассматриваемое утверждение состоит в том, что следующий дедуктивный аргумент является примером математической индукции, или МИ . (Кстати, это ваша претензия, а не Теллера, верно?)

Адам только что получил пятерку.
Тот, кто получает пятерку, счастлив.
∴ Адам счастлив.

Хотя я больше разбираюсь в логике, чем в математике, я нахожу это утверждение весьма неубедительным. Дедуктивный аргумент имеет следующую форму:

А
Па
∀x(Px→Qx)
∴ Qa

Напротив, MI принимает следующую форму:

MI
P0
∀x(Px→Px+1)
∴∀xPx.

Сразу же отметим два отличия: (i) А содержит два предиката, Р и Q, а МИ содержит только один. (ii) вывод MI является универсальным утверждением, а вывод A — нет. ( Основная цель МИ — показать, что свойство есть у всех чисел.)

Есть еще два, концептуально более важных различия: (iii) даже для того , чтобы сформулировать МИ , нам нужно дополнение или, по крайней мере, понятие преемника , но ни то, ни другое недоступно в FOL. (iv) MI — это аксиома арифметики, нечто, что мы добавляем к логике, например, чтобы получить PA. A , напротив, не опирается в своей достоверности на какие-либо (нелогические) аксиомы. Говоря более технически, арифметика Робинсона (например) не включает MI , но в этой теории по-прежнему действует A.

В итоге: я не думаю, что дедуктивный аргумент является примером математической индукции.

Вы путаете некоторые термины и понятия. Логическая индукция — это тип рассуждения, отличный от дедуктивного рассуждения. Математическая индукция — это название процедуры дедуктивного вывода в математической логике. Вы, кажется, воспринимаете определение термина «индукция» буквально там, где видите его. Это не верно. Вы должны понимать, что определения берутся из контекста, а не из словарей. Одно и то же слово может принимать разные значения в зависимости от контекста. Однако в этом случае название, которое люди дали правилу вывода, можно было бы применить лучше. Начнем с разных контекстов.

Индуктивное рассуждение - это модель рассуждения, в которой есть выводы, которые не являются определенными. То есть вывод индуктивного аргумента не обязательно будет истинным, пока верны посылки. Этот вывод может быть верным сегодня и ложным через 10 лет. Другие факторы могут сделать вывод верным, а не только данные посылки. Вы также можете иметь верный вывод, в то время как посылки ложны. Думайте о заключении, которое, вероятно, будет верным без уверенности. Другой способ выразить это состоит в том, что индуктивное рассуждение вероятно. Вы слышали о статистике или вероятности, не так ли? То есть заключение аргумента имеет процентиль правильности: то есть от 1% до 99% истинности. Все известные науки подходят под эту категорию.

Дедуктивное рассуждение - это модель рассуждения, которая имеет уверенность в выводах, если посылка верна. Было бы невозможно следовать правилам, и заключение аргумента было бы ложным, в то время как посылки истинны одновременно. Индуктивное рассуждение не имеет этой особенности. Индукция может быть правильной, но эта закономерность не ВСЕГДА дает уверенность. Различие уже состоит в том, что одна модель рассуждения (индукция) иногда дает истину, а иногда терпит неудачу. Другой шаблон (дедуктивное рассуждение) имеет правила, подобные математическим, и соблюдение правил делает невозможным получение неправильного ответа. Если кто-то получает неправильный ответ, должно быть нарушено хотя бы одно из известных правил. Математическая индукция - это дедуктивная процедура, используемая в рассуждениях для получения заключения в аргументе.тип рассуждения как индуктивное рассуждение. Процедура рассуждения имеет правила, соблюдение которых приводит к выводу, который должен быть истинным, если посылки (включая предположения) также верны. В Википедии есть полезная статья о математической индукции. Вы также можете использовать поисковую систему Google, чтобы предоставить дополнительную информацию о других веб-страницах, на которых обсуждается математическая индукция. На многих сайтах, посвященных математике, есть ее описание.

Приведенный вами пример дедуктивного аргумента, по-видимому, соответствует модели не математической индукции, а категорического силлогизма. Я бы написал такой категорический силлогизм: все люди, получившие пятерку на экзамене, счастливы. Адам получил пятерку на экзамене. Поэтому Адам счастливый человек.

Математик перевел бы это в условную форму: если человек получит пятерку на экзамене, то он будет счастливым человеком. Адам получил пятерку на экзамене. Поэтому Адам счастливый человек.

В обоих случаях нет математической индукции.