электрическое, магнитное и квантование уровней для SU(N), SO(N) и компактной U(1) теории Черна-Саймонса

Представьте себе три разных мира, описываемых тремя теориями (I), (II), (III).

Теория (I) - компакт U(1) Черна-Саймонса :

Компактная U(1)-теория Черна-Саймонса с зарядами магнитных монополей м 1 .

Z "=" опыт ⁡ [ я ∫ ( к 1 4 π а 1 ∧ г а 1 ) ]

Теория (II) - SU(2) to U(1) Черна-Саймонса :

SU (2) (или SU (N) в целом) теория Черна-Саймонса с зарядами магнитных монополей. м 2 .

Z "=" опыт ⁡ [ я ∫ к 2 4 π ( а 2 ∧ г а 2 + 2 3 а 2 ∧ а 2 ∧ а 2 ) ]

и эта теория SU (2), разбитая на симметрию U (1) механизмом Хиггса.

Теория (III) - SO(3) к U(1) Черна-Саймонса :

SO (3) (или SO (N) в целом) теория Черна-Саймонса с зарядами магнитных монополей. м 3 .

Z "=" опыт ⁡ [ я ∫ к 3 4 π ( а 3 ∧ г а 3 + 2 3 а 3 ∧ а 3 ∧ а 3 ) ]

и эта теория SO (3), разбитая на симметрию U (1) механизмом Хиггса.

Теперь представьте, что Теория (I), Теория (II) и Теория (III) на самом деле живут в одной и той же вселенной, но далеко друг от друга; давайте соединим Теорию (I), Теорию (II) и Теорию (III), и они будут говорить друг с другом.

Вопрос : можем ли мы сравнить их квантование по электрическому заряду ? е 1 , е 2 , е 3 , заряд магнитного монополя м 1 , м 2 , м 3 и их уровни к 1 , к 2 и к 3 ? Каковы их явные отношения?

пс. полезный факт заключается в том, что: сингулярный монополь Дирака имеет магнитный заряд м "=" 2 π Н / е (для компактной теории U(1)), а монополь 'т Хоофта Полякова имеет магнитный заряд м "=" 4 π Н / е (для SU(N)-теории).

Давать реф — это нормально. Но явные результаты должны быть сформулированы и обобщены. Спасибо.

Под «жизнью в одной вселенной» вы имеете в виду лежащую в основе теорию «великого объединения», которая нарушается тремя разными способами? Если бы это было так, то области Вселенной с разными теориями были бы разделены доменными стенками, так что мы действительно не могли бы «свести их вместе». Или вы имеете в виду что-то другое?
@ user23660: Спасибо за хорошие комментарии. На самом деле я не уверен, действительно ли эти три теории могут быть объединены для сравнения друг с другом. (Если нет, вы все равно можете ответить на вопросы, что их нельзя сравнивать.) Меня интересует, существует ли универсальная наименьшая шкала квантования для e, m, k (электрическое, магнитное и уровневое квантование), чтобы три теории могли положить на эти весы, чтобы сравнить? пс. Я читал какую-то статью, в которой упоминалось, как уровни согласованы для компактной теории U (1) CS и SU (2) -> U (1) CS. Спасибо!
@ user23660: если для каждой теории есть дополнительный член Максвелла | F | ^ 2 (скажем, три теории имеют одно и то же непрерывное калибровочное поле U (1) a), можем ли мы все еще обнаружить силу между зарядами e, m и использовать это ЭМ заставляют говорить их квантованные значения относительно между Теорией (I), Теорией (II) и Теорией (III)? даже если они разделены (если есть) доменной стеной?

Ответы (1)

Очевидно, это слишком долго для комментария, поэтому он будет конкретизирован, по крайней мере (надеюсь), в частичный ответ.

Я вижу большую проблему в том, чтобы определить, какие теории могут жить в одной и той же вселенной. Таким образом, я думаю, что математическая теория анионной конденсации Лян Конга обеспечивает путь вперед.

Чтобы восстановить настройку:

Рассмотрим три топологические фазы, возбуждения которых описываются модулярными тензорными категориями С 1 , С 2 , С 3 связанный с приведенными выше теориями Черна-Саймонса. Теперь представьте, что все эти ТП являются конденсированными фазами в какой-то большей системе с подходящим разделением. Кажется, это ваш первый (а может быть, и нулевой) вопрос - существует ли такая система.

С категорической точки зрения, я думаю, это можно перефразировать так: существует ли МТС или нет — назовем это Д - содержащий соответствующие специальные фробениусовы (эквивалентно связные коммутативные сепарабельные) алгебры А 1 , А 2 , А 3 чьи категории локальных модулей м о г л А 1 , м о г л А 2 , и м о г л А 3 эквивалентны С 1 , С 2 , и С 3 как МТС.

Один из способов, который я могу придумать, чтобы построить такую ​​категорию, вероятно, состоял бы в том, чтобы взять тензорное произведение Делиня категорий Д "=" ( С 1 ⊠ С 2 ) ⊠ С 3 . Я верю тогда, что С 1 , С 2 и С 3 должны иметь структуру бимодульных категорий над этим - через соответствующие проекционные функторы из Д → С я - и, таким образом, это должно гарантировать существование соответствующих алгебр.

В любом случае, согласно анализу Конга, это должно дать топологическую фазу, то есть вселенную, которая способна поддерживать конденсированные фазы, описанные тремя различными типами TQFT Черна-Саймонса, которые вы описали выше.

Я предполагаю, что под «собиранием их вместе» вы имеете в виду, что каждая из трех фаз имеет общую доменную стену. Вот тут и возникнут ограничения на уровне теории (это, наверное, очевидно) и потребуют анализа их модульных категорий. Говоря друг с другом, я предполагаю, что вы имеете в виду, что возбуждения в одной фазе могут передаваться туда и обратно между другими. Я считаю, что это также можно проанализировать с помощью метода Конга , но прежде чем продолжить, я хочу убедиться, что не захожу слишком далеко, поскольку приведенный выше анализ не ограничивается строго контекстом теорий Черна-Саймонса.

Дорогой Мэтью, спасибо за хороший ответ. +1. Приятно иметь интерпретацию категории. (То, что я имел в виду ранее, было подходом теории поля TQFT.) Как вы думаете, вы все еще можете определить квантование заряда e / m заряда и уровень k для тех теорий, использующих категорию? Как? Большое спасибо!
Я считаю, что ответ на определение к теории должно быть "Да". МПК для теории CS с группой г на уровне k оказывается фактором подкатегории представлений алгебры Ли г с некоторым наибольшим весом. Определение трех теорий и их уровней ( г 1 , к 1 ) , ( г 2 , к 2 ) , и ( г 3 , к 3 ) тогда вопрос определения того, какие теории могут иметь общую доменную стенку. Согласно Конгу, это должно быть сведено к утверждению о модульных категориях МТС, соответствующих теориям. Я собираюсь отредактировать ответ, чтобы дать лучшее описание этого.
Предположим на данный момент, что у нас есть три теории CS. ( г 1 , к 1 ) , ( г 2 , к 2 ) , и ( г 3 , к 3 ) которые могут иметь общую границу. Разве квантование заряда e/m не должно быть выведено с учетом теории и ее уровня?
Спасибо, Мэтью, на самом деле я не уверен, как это сделать. Не могли бы вы предоставить результаты, если бы знали? (У меня были некоторые мысли от CS, но я не уверен, что ответ правильный. Я могу опубликовать его, чтобы другие люди оценили мою мысль, если ответа все еще нет.)
электрическое, магнитное и квантование уровней для SU(N), SO(N) и компактной U(1) теории Черна-Саймонса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v