О топологической массивной гравитации

Топологически массивная гравитация, сформулированная в терминах$\Gamma$или$\omega$та же; например, в статье Мэлони о геометрических микросостояниях трехмерной черной дыры он использует$\Gamma$формулировка и речь Виттена о пересмотре$2+1$-мерная гравитация включает член Черна-Саймонса со спиновой связью$\omega$, но они оба описывают одну и ту же теорию.

Одна тонкость, на которую я хотел бы обратить внимание при переформулировании полей, заключается в том, что он может модифицировать их нетривиальным образом. В частности, гравитация в$2+1$измерения считается тривиальным, но если его сформулировать в терминах калибровочного поля вне связи и вербейна,

$$A = \begin{pmatrix} \omega & e\\ -e & 0 \end{pmatrix}$$

допускающий необратимый$e$и, следовательно, неклассические конфигурации. Оказывается, это делает действие Эйнштейна-Гильберта плохо определенным, если только связь не квантуется.

Поскольку вы, кажется, интересуетесь топологической массивной гравитацией и поскольку она не упоминалась в перечисленных вами работах, я хотел бы отметить, что Виттен и другие предположили, что если гипотеза Френкеля-Леповского-Мермана верна, она может будь то двойное$k=1$КТП — это теория, симметрия которой описывается группой Монстров — не знаю, интересно ли вам это направление.

---

Чтобы явно показать эквивалентность, это кажется довольно запутанным. В качестве отправной точки обратите внимание на связь между спиновой связью$\omega$и аффинная связь$\Gamma$как,

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = e^\lambda_A \partial_\mu e^A_\nu + e^\lambda_A e^B_\nu {\omega_\mu}^A_B$$

где заглавные римские индексы обозначают ортонормированный базис, а греческие индексы - координатный базис. Мы можем подставить это в термин Черна-Саймонса для$\Gamma$, который явно указан в индексной нотации,

$$\mathcal L \sim \epsilon^{\lambda\mu\nu} \Gamma^\rho_{\lambda \sigma} \left( \partial_\mu \Gamma^\sigma_{\rho\nu} + \frac{2}{3} \Gamma^\sigma_{\mu\kappa} \Gamma^\kappa_{\nu\rho}\right),$$

используя определение произведения клина и внешней производной. Таким образом, используя соотношение между связями, мы имеем,

$$\mathcal L \sim \epsilon^{\lambda\mu\sigma}\left(e^\rho_A \partial_\lambda e^A_\nu + e^\rho_A e^B_\sigma {\omega_\lambda}^A_B \right) \bigg[ \partial_\mu \left( e^\sigma_A \partial_\rho e^A_\nu + e^\sigma_A e^B_\nu {\omega_\rho}^A_B\right)+ \bigg.\\ + \bigg. \frac{2}{3} \left(e^\sigma_A \partial_\mu e^A_\kappa + e^\sigma_A e^B_\kappa {\omega_\mu}^A_B \right) \left( e^\kappa_A \partial_\nu e^A_\rho + e^\kappa_A e^B_\rho {\omega_\nu}^A_B\right)\bigg].$$

На данный момент это вопрос утомительных манипуляций, которые, как мы надеемся , должны показать эквивалентность теории с точки зрения спиновой связи.