Топологические струны: почему сложная структура для T2T2T^2 обозначается как ττ\tau в теории струн?

Я попытаюсь ответить с очень небольшим фоном теории струн, потому что ваши вопросы кажутся ориентированными на этот базовый случай, а не на теорию в целом.

1. Во-первых, поправка. На странице 7 этой статьи он определяет$A=iR_1R_2$, нет$R_1/R_2$. Итак, поскольку тор плоский,$A$является$i$раз больше обычной площади$R_1R_2$.

2. Как вы говорите, сложная структура — это карта$J$такой, что$J^2=-1$. Это происходит из размышлений о сложной структуре на$\mathbb{C}$, где$iz=i(x+iy)=-y+ix$, поэтому он меняет роли двух координат. Если тор представляет собой прямоугольную область$\mathbb{C}$с идентифицированными противоположными сторонами сложная структура представляет собой «вращение + переворот» и меняет внешний вид прямоугольника. С$\tau$есть отношение двух сторон прямоугольника, оно говорит нам кое-что о форме тора [некоторые пояснения ниже].

3. Тор представляет собой многообразие CY в 1 измерении, поэтому симметрия$A\leftrightarrow\tau$является отображением между двумя многообразиями CY. Он приравнивает это к Т-дуальности.$A\leftrightarrow 1/A$, что тесно связано с зеркальной симметрией.

4. Ну, чтобы было ясно, мы говорим о метриках тора , которые полностью определяются$R_1$и$R_2$. (Это не то же самое, что «пространство модулей$\mathbb{T}^2$", потому что это означало бы большую или меньшую структуру, в зависимости от контекста. Для тополога пространство модулей торов 0-мерно, поскольку существует только одна 2d топологическая поверхность с родом 1). Это означает, что просто$A$не резала бы - были бы пары$(R_1,R_2)$с тем же$A$но разных размеров. Если вы включите$\tau$(линейно не зависит от$A$), то вы можете сломать это вырождение. Таким образом, пространство модулей параметризуется либо парой$(R_1,R_2)$или$(A,\tau)$. (Он говорит, что для более общих торов вам нужно рассматривать действительные части для$A$и$\tau$, так что пространство модулей будет больше).

[Некоторая ясность] Если что-то непонятно - рассмотрим сложную структуру$\mathbb{C}$, мнимая единица$i$. Это действие на краях

$(R_1,R_2)\rightarrow (-R_2,R_1)$

Итак, что происходит с$A$и$\tau$под этой картой?

Так$A$ничего не говорит нам о сложной структуре, потому что под этой картой мы просто получаем$A\rightarrow -A$. Однако,$\tau\rightarrow -1/\tau$, так$\tau$говорит, «насколько широк» и «длинен» тор (по крайней мере, их отношение), что является сложной структурой.

Я не знаком с теорией струн, но знаю о сложных структурах на 2-торах, также известных как сложные эллиптические кривые . Левитофер ответил на большинство ваших вопросов, я просто немного уточню эту часть. Пространство всех комплексных структур на топологическом торе называется пространством модулей эллиптических кривых. Это означает, что точки этого пространства в точности соответствуют классам изоморфизма эллиптических кривых, где две эллиптические кривые изоморфны, если между ними существует биголоморфное отображение (обычно выделяется точка, которая должна соблюдаться отображением, но не важный).

Можно показать, что всякая комплексная структура на торе получается как фактор комплексной плоскости по модулю решетки, т. е. как дискретная подгруппа второго ранга плоскости, действующая переносом: вы сворачиваете плоскость в двух независимых направлениях. Изоморфизм — это умножение на комплексное число, которое индуцирует биекцию на этих решетках.

Теперь пусть$R_1,R_2$быть двумя образующими вашей решетки, следовательно, двумя комплексными числами. Я предполагаю, что в первой части примера авторы думают о двух перпендикулярных генераторах.$R_1$и$iR_2$. В общем, умножение на (ненулевое) комплексное число не меняет класс изоморфизма соответствующего комплексного тора, мы используем его для масштабирования одного из образующих до 1, и мы получаем решетку, порожденную$1, R_2/R_1$. Традиционно это масштабирование выполняется таким образом, что$\tau$имеет положительную мнимую часть. Соотношение$R_2/R_1$часто обозначается$\tau$.

Теперь два комплексных тора, имеющие одинаковые$\tau$имеют эквивалентные сложные структуры, но обратное еще не совсем верно. Я думаю, что сейчас мы имеем пространство Тейхмюллера , которое легко, как само пространство, а именно комплексную верхнюю полуплоскость, но чья интерпретация модулей более техническая, а именно сложных структур на торе с точностью до некоторых сложных изоморфизмов (а именно тех, изотопный тождеству). Чтобы перейти к фактическому пространству модулей сложных структур, вы должны исключить эквивалентные решетки: например$1, \tau + 1$порождает ту же решетку, и$\tau + 1$соответствует той же сложной структуре, что и$\tau$. Это по сути смена базы, а все базы получаются путем применения элементов$SL_2(\Bbb Z)$к заданному набору генераторов. Обратите внимание, что это напрямую переводится в действие на$\tau$преобразованиями Мёбиуса :

Фактор комплексной верхней полуплоскости (с координатой$\tau$) под действием$SL_2(\Bbb Z)$есть в точности пространство модулей комплексных структур на топологическом торе.