Электрическое поле ниже проводящей плоскости

Разве индуцированный заряд на плоскости не создает электрического поля?

Да, конечно. Но не забывайте, что есть еще электрическое поле точечного заряда$q$над плоскостью для рассмотрения. Примечательно, что, поскольку это электростатический случай, должно быть так, что электрическое поле индуцированного заряда точно компенсирует электрическое поле точечного заряда.$q$в области ниже плоскости.

Это должно быть так, поскольку (1) ниже плоскости нет заряда и (2) поэтому электрический потенциал должен удовлетворять уравнению Лапласа в этой области.

Предположим, что потенциал равен нулю при$\pm \infty$, тот факт, что заземленная проводящая плоскость по определению имеет нулевой потенциал, означает, что потенциал равен нулю в области под плоскостью.

Если бы это было не так, то обязательно был бы максимум или минимум потенциала в области ниже плоскости, но тогда потенциал не удовлетворял бы уравнению Лапласа. Из Wolfram Mathworld :

Функция$\psi$которая удовлетворяет уравнению Лапласа, называется гармонической. Решение уравнения Лапласа имеет то свойство, что среднее значение по сферической поверхности равно значению в центре сферы (теорема Гаусса о гармонической функции). Решения не имеют локальных максимумов и минимумов

(выделено мной)

Поскольку потенциал постоянен в области ниже плоскости, электрическое поле обязательно равно нулю .

Подумайте об этом так: распределение потенциала под поверхностью подчиняется уравнению Лапласа, и связанные с ним граничные условия заключаются в том, что потенциал должен быть равен нулю на границе проводника. Теперь тривиальным решением этой краевой задачи является тождественно нулевой потенциал везде ниже проводника. И по теореме единственности уравнения Лапласа это тоже единственное решение. Следовательно, потенциал и, следовательно, электрическое поле под проводником равны нулю.

О вашем заявлении о наведенном заряде; это правда, что на проводнике индуцируется некоторый заряд. Однако потенциал точечного заряда над поверхностью нейтрализует потенциал, созданный индуцированными зарядами, оставляя нулевой потенциал в этой области.