Электронная плотность в металлах при отличной от нуля температуре

При вычислении электронной плотности в металлах обычный грубый результат вычисляется для нулевой температуры. То есть мы интегрируем

н "=" 8 2 π м 3 / 2 час 3 ∫ 0 Е Ф Е г Е "=" 8 2 π м 3 / 2 час 3 ( 2 3 Е Ф 3 / 2 ) .

Я ищу оценку электронной плотности для ненулевых температур, но я не могу справиться со следующим интегрированием:

н "=" 8 2 π м 3 / 2 час 3 ∫ 0 ∞ Е 1 + опыт ⁡ ( Е − Е Ф к Б Т ) г Е .

Не подскажете ссылку, где решается эта проблема? Или просто термин, который описывает (аппроксимирует) плотность электронов при более высоких температурах. Есть ли какое-то "эмпирическое правило" для металлов - например, какая-то экспоненциальная зависимость. Нужен ли вывод более точного подхода? Спасибо :)

Ответы (1)

То, что вы ищете, называется расширением Зоммерфельда . Указанный вами интеграл может быть достаточно хорошо аппроксимирован для расчета химического потенциала (отличного от Е Ф когда электроны не полностью вырождены) и выражения для плотности числа и плотности энергии электронов, когда химический потенциал (или Е Ф ) больше, чем к Т , но газ не является полностью вырожденным.

Часто расширение ограничивается первыми двумя терминами; второй член порядка ( к Т / Е Ф ) 2 , а третьим членом пренебрегают, так как оно становится малым при ( к Т / Е Ф ) 4 маленький.

Полную информацию можно найти по ссылке в википедии , но также быстрый поиск обнаружил эту студенческую статью из курса Graz Univ по продвинутой физике твердого тела . Кажется, он дает очень четкое описание и выводит нужные выражения для 1-, 2- и 3D-газов Ферми-Дирака.

Большое спасибо, после короткого расчета расширение Зоммерфельда добавляет член, зависящий от температуры, в приближение электронной плотности, которое я искал. Интересно, что я всегда думал, что температурная зависимость получится линейной, а не квадратичной.
@Jan Hirschner Это плотность энергии, которая имеет дополнительный квадратичный член. Я полагаю, вы могли бы думать об этом как о дроби ∼ к Т / Е Ф электроны находятся выше области «спада» в распределении, и каждый из них имеет ∼ к Т энергии выше Е Ф . Дифференцирование этого дает теплоемкость, которая линейно зависит от Т .
Электронная плотность в металлах при отличной от нуля температуре
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v