Емкость рассчитывается по конечному объему или по всему пространству?

Question

Емкость рассчитывается по конечному объему или по всему пространству?

кордон

Емкость системы проводников рассчитывается в конечном объеме или во всем пространстве?

Мой вопрос мотивирован следующей проблемой.

Объем $V$ в вакууме ограничен поверхностью $S$ состоящая из нескольких отдельных проводящих поверхностей $S_i$ . Один проводник находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники имеют нулевой потенциал. Докажите, что емкость одного проводника
$С "=" ϵ_{0} \int_{В} {| \nabla Φ |}^{2} д^{3} Икс$ $C = \epsilon_0 \int_V \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x$ где $\Phi(\mathbf{x})$ является решением для потенциала.

(Источник: Задача 1.17 по Джексону, 3-е изд.)

Полная потенциальная энергия системы равна,

Вт "=" \sum_{я}^{н} \sum_{Дж}^{н} \frac{1}{2} С_{я Дж} В_{я} В_{Дж} "=" \frac{1}{2} С_{11} В_{1}^{2} "=" \frac{1}{2} С

$W = \sum_i^n \sum_j^n \frac{1}{2} C_{ij} V_i V_j = \frac{1}{2}C_{11} V_1^2 = \frac{1}{2} C$

Поскольку дирижер $1$ находится при единичном потенциале, а все остальные при нулевом потенциале.

В более общем случае потенциальная энергия системы равна

Вт "=" \frac{ϵ_{0}}{2} \int {| Е |}^{2} д^{3} Икс

$W = \frac{\epsilon_0}{2} \int \left| \mathbf{E} \right|^2 d^3x$ Приравнивание последних двух выражений дает,

С "=" ϵ_{0} \int {| \nabla Φ |}^{2} д^{3} Икс

$C = \epsilon_0 \int \left| \nabla \Phi \right|^2 d^3x$ Этот интеграл по всему пространству, а не только по объему

V

$V$ . На самом деле, если этот интеграл упрощается почти до объема

V

$V$ , не означает ли это, что поле вне поверхности

0

$0$ везде (поскольку любой дополнительный вклад в этот интеграл положительно определен)? Моя интуиция подсказывает мне, что поле не равно нулю вне проводников, потому что существует разность потенциалов между бесконечностью (определяемой как

0

$0$ ) и один из проводников (при единичном потенциале), поэтому силовые линии должны быть направлены от поверхности с единичным потенциалом и течь в бесконечность с меньшим (нулевым) потенциалом.

Я предполагаю, что есть проблема со вкладом собственной энергии, скрытым в интеграле энергии по всему пространству. Если это так, есть ли у кого-нибудь интуитивное объяснение того, почему вклад собственной энергии существует только вне объема? $V$ ?

Мои вопросы:

Поле вне проводящей поверхности равно 0? Если да, то почему?
Не хватает какой-то мелкой детали, которая запрещает такой подход к решению?

кордон

@Анжелика, поверхность

S

$S$ , который заключает в себе объем

V

$V$ , состоит из нескольких отдельных проводящих поверхностей

S_{i}

$S_i$ .

Ответы (3)

Емкость рассчитывается по конечному объему или по всему пространству?

@Анжелика, поверхность $S$ , который заключает в себе объем $V$ , состоит из нескольких отдельных проводящих поверхностей $S_i$ .

Чай это жизнь · Answer 1

Стив Б прав. Я просто хочу включить схему. Вы можете видеть, что поверхность $\rm S$ состоящая из проводящих поверхностей $\rm S_1, S_2, S_3,...., S_i$ объем $\rm V$ .

Предполагать $\rm S_1$ находится при единичном потенциале, а все остальные при нулевом потенциале. Если $\rm S_1$ имеет $\rm Q$ количество заряда, то такое же количество отрицательного заряда индуцируется на других проводниках. Таким образом, чистый заряд на $\rm S$ равен нулю. Электрический поток через гауссову поверхность, сделанную сразу за пределами $\rm S_3$ поэтому равен нулю. Мы не знаем и не важно, как распределяются заряды на $\rm S_i's$ . Поскольку электрическое поле перпендикулярно поверхности проводника, следовательно, электрическое поле вне проводящей поверхности $\rm S_3$ также равен нулю.

Как сказал Стив Б., если бы поверхность $\rm S$ имеет ненулевой чистый заряд, то нам нужно было бы вычислить емкость $\rm S$ что называется его собственной емкостью. Например, собственную емкость проводящего шара вычисляют следующим образом: сначала вычисляют емкость сферического конденсатора, затем в пределе радиуса внешней пластины, уходящего в бесконечность, получают емкость внутреннего проводящего шара.

Стив Бирнс · Answer 2

Да, поле вне проводящей поверхности равно 0. Если суммарный заряд внутри проводящей поверхности равен 0, то поля вне поверхности равны нулю. По сути, это эффект клетки Фарадея.

А суммарный заряд внутри проводящей поверхности равен 0, потому что это определение конденсатора.

Вы можете спросить: «Ну, а что, если чистый заряд не равен нулю?» В этом случае в вопросе будет два соответствующих конденсатора:

Конденсатор №1 — это конденсатор, о котором вас спрашивает Джексон.
Конденсатор №2 — это конденсатор, у которого одна пластина представляет собой поверхность S, а другая — бесконечность.

Сказать «S несет ненулевой суммарный заряд» — это то же самое, что сказать: «Мы зарядили конденсатор № 2».

Поскольку вопрос конкретно о емкости конденсатора № 1, вы должны предположить, что другие конденсаторы, такие как конденсатор № 2, не заряжены.

«Если суммарный заряд внутри проводящей поверхности равен 0, то поля вне поверхности равны нулю». Я должен что-то упустить, закон Гаусса говорит, что поток электрического поля через поверхность равен нулю, а не то, что поле равно нулю. Не могли бы вы уточнить?
Электрическое поле перпендикулярно поверхности проводника, следовательно, оно также равно нулю.

Приш Чакраборти · Answer 3

Согласно Гриффиту, интеграл по объему, простирающийся за пределы объема и фактически во все пространство, представляет собой просто математическое удобство. $\mid E\mid^2$ быстро уменьшается с увеличением расстояния $(\propto\frac{1}{r^4})$ . Итак, если мы возьмем все пространство, вклад интеграла за пределами интересующего нас объема будет пренебрежимо мал, но это не означает, что поле $0$ .

Так что да, есть поле за пределами $V$ ; мы просто игнорируем его последствия.

Емкость рассчитывается по конечному объему или по всему пространству?

кордон

кордон

Ответы (3)

Чай это жизнь

Стив Бирнс

кордон

Чай это жизнь

Приш Чакраборти

Два шарика прикреплены очень длинной и тонкой проводящей проволокой к двум токопроводящим пластинам. Как конденсатор ведет себя в этой ситуации?

Электрическая потенциальная энергия заряженного проводника

Как применить закон Гаусса к коаксиальным проводящим цилиндрам?

Напряженность электрического поля в диэлектрике внутри конденсатора

Полый проводник, содержащий заряд: почему внутреннее поле уравновешивается снаружи и почему поле вне полости равно нулю внутри полости?

Как рассчитать работу электростатических сил в плоском конденсаторе?

Емкость трех пластин

Распределение заряда на пластинах [закрыто]

Емкость двух параллельных цилиндров

Емкость плоского конденсатора с куском электрического проводника внутри