Энергия и импульс как частные производные действия на поверхности в теории поля

Да, это, например, рассматривается в Ref. 1. В теории поля отправной точкой является действие вне оболочки.$^1$

$$\tag{1} I[\phi; t_f,t_i] ~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\int_{\Sigma} d^3x~ {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t) ,$$

где$t_i$и$t_f$обозначают начальное и конечное время соответственно. Теперь мы накладываем соответствующие граничные условия (BC), например Дирихле BC

$$\tag{2} \phi^{\alpha}(x,t_i)~=~\phi^{\alpha}_i(x) \qquad \text{and}\qquad \phi^{\alpha}(x,t_f)~=~\phi^{\alpha}_f(x) .$$

Предположим, что для заданного БК (2) существует единственное решение$\phi_{\rm cl}$к уравнениям Эйлера-Лагранжа. OP интересует действие (Дирихле) в оболочке, определенное как

$$\tag{3} S[\phi_f,t_f; \phi_i,t_i] ~:=~ I[\phi_{\rm cl}; t_f,t_i].$$

Далее определим (лагранжево) поле импульса

$$\tag{4} \pi_{\alpha}(x,t) ~:=~\frac{\partial {\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)}{\partial \dot{\phi}^{\alpha}(x,t)},$$

и энергия

$$\tag{5} h(t)~:=~\int_{\Sigma} d^3x~\left(\sum_{\alpha}\pi_{\alpha}(x,t)\dot{\phi}^{\alpha}(x,t) -{\cal L}(\phi(x,t),\dot{\phi}(x,t), \partial_x \phi(x,t);x,t)\right).$$

Тогда можно показать теоретико-полевым$^{2}$что

$$\tag{6} \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_f(x)}~=~ \pi_{\alpha}(x,t_f), \qquad \frac{\delta S}{\delta \phi^{\alpha}_i(x)}~=~ -\pi_{\alpha}(x,t_i) ,$$

и

$$\tag{7} \frac{\partial S}{\partial t_f}~=~-h(t_f), \qquad \frac{\partial S}{\partial t_i}~=~h(t_i).$$

Пример: плотность лагранжиана в свободном поле.${\cal L} = \frac{1}{2}\phi^2$приводит к

$$\tag{8} S(\phi_f,t_f; \phi_i,t_i) ~=~ \frac{1}{2(t_f-t_i)} \int_{\Sigma} d^3x~(\phi_f(x)-\phi_i(x))^2 .$$

Использованная литература:

1. МТЗ ; Раздел 21.1 и Раздел 21.2.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика . 1, 1976;$\S$43.

--

$^1$Для действий в точечной механике см., например, этот пост Phys.SE.

$^2$Доказательство механики точки см., например, в Ref. 2 и мой ответ Phys.SE здесь .

Да действительно есть!

Во-первых, выполняется нормальное уравнение Гамильтона-Якоби, поэтому энергия по-прежнему определяется производной по времени от действия на оболочке.

Но наиболее естественным в теории поля соответствующим локальным объектом является тензор энергии-импульса-импульса, содержащий плотности и потоки энергии и импульса. Вопрос о том, что нужно изменить, чтобы получить это, поначалу, возможно, неясен: ответ заключается в изменении фоновой геометрии, на которой определяется теория.

В частности, меняется метрика, определяющая локальные понятия расстояний и углов. Фактически, в конце концов это оказывается лучшим способом определения тензора энергии-импульса: это (с точностью до констант) производная действия по фоновой метрике.

Между прочим, в гравитационных теориях, таких как ОТО, метрика сама по себе является динамическим полем, поэтому эта вариация действия по отношению к метрике на поверхности по определению равна нулю: можно определить энергию-импульс «материи», просто включив часть действие, но в таких теориях нет хорошего локального определения полной плотности энергии и связанных с этим вещей.