От каких переменных зависит действие SSS?

1) Во-первых, лагранжиан $L(q(t),v(t),t)$в какой-то момент$t$является функцией :

1. мгновенное положение$q(t)$в то время$t$;
2. мгновенная скорость$v(t)$в то время$t$; и
3. время$t$(также известный как явная зависимость от времени).

2) Во-вторых, действие (вне оболочки)

$$\tag{1} S[q]~:=~ \left. \int_{t_i}^{t_f}\! dt \ L(q(t),v(t),t)\right|_{v(t)=\dot{q}(t)}$$

является функционалом кривой/пути полного положения$q:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$на все времена$t$в интервале$[t_i,t_f]$.

3) В-третьих, если наложить граничные условия (ГУ), например, Дирихле ГУ,

$$\tag{2} q(t_i)~=~q_i \qquad \text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f,$$

тогда есть также понятие действия (Дирихле) на оболочке $^1$

$$\tag{3} S(q_f,t_f;q_i,t_i)~:=~S[q_{\rm cl}]$$

где$q_{\rm cl}:[t_i,t_f] \to \mathbb{R}$– классический путь, удовлетворяющий уравнениям Эйлера-Лагранжа с БК Дирихле (2). Действие на оболочке$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$является функцией _

1. начальное время$t_i$;
2. исходное положение$q_i$;
3. последний раз$t_f$; и
4. конечная позиция$q_f$.

--

$^1$См. также, например, раздел 21.1 MTW . Для действия на оболочке$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$чтобы быть корректным, должен существовать единственный классический путь с БК (2). (Здесь слова «на оболочке» и «вне оболочки» относятся к тому, выполняются ли уравнения Эйлера-Лагранжа или нет.)