Энергосбережение при заряде конденсатора в цепи с нулевым сопротивлением

Это не совсем разумная физическая ситуация. Проблема в том, что если сопротивление действительно равно нулю, то время заряда также равно нулю, а ток бесконечен, что не является разумным выводом. В физических случаях что-то должно дать: сопротивление проводов или внутреннее сопротивление батареи перестанет быть пренебрежимо малым до этого момента.

Правильный способ справиться с пренебрежимо малыми сопротивлениями состоит в том, чтобы решить задачу полностью с ненулевым сопротивлением, получить окончательный ответ, а затем взять предел$R\to0$. (Обратите внимание, что во многих случаях это делается в обратном порядке перед студентами: начинают с незначительного сопротивления, а затем доводят до полного случая. Это оправдано в тех случаях, когда полный случай сводится к упрощенному.) В данном конкретном случае случае рассеянная энергия не зависит от$R$, и это следует читать именно так:

независимо от того, насколько мало сопротивление, оно всегда будет рассеивать одинаковое количество тепла.

Это связано с тем, что меньшее сопротивление дает более короткое время зарядки и, следовательно, более высокий ток. В данном конкретном случае нет возможности подключиться к делу по адресу$R=0$- и в этом случае все равно нет смысла.

Вы, вероятно, чувствуете, что я обманываю вас, делая это. Что, если сделать все из сверхпроводников? Ну и внутреннее сопротивление батареи, которое обязательно в любом химическом источнике, будет мешать. Действительно, ни один источник электрического тока не может обеспечить конечное количество заряда за нулевое время.

Однако в основном это связано с тем, что электронам требуется время, чтобы добраться от источника до конденсатора. В пределе, когда это происходит очень быстро, у вас есть несбалансированные заряды, движущиеся и ускоряющиеся, и они должны внезапно останавливаться на пластинах конденсатора. Как указала BMS в комментарии , это неизбежно будет сопровождаться выбросом электромагнитного излучения. Суть в том, что нет способа кратковременно зарядить конденсатор без потери энергии.

С другой стороны, есть способ зарядить конденсатор таким образом, чтобы вся энергия, затраченная батареей, накапливалась в конденсаторе, и то есть делать это медленно, а не внезапно. То есть вы увеличиваете напряжение батареи адиабатически, за множество маленьких шагов.$\Delta V$, и ждем время$\tau\gg RC$между шагами, чтобы напряжения уравновешивались. Я оставлю вам точные детали, но оказывается, что в пределе медленной зарядки (т.е.$\tau/RC\to\infty$) резистор не тратит энергию впустую. Наконец, довольно легко увидеть, что медленное увеличение напряжения будет означать, что энергия, отдаваемая источником тока, теперь будет$\tfrac12 QV$, как теперь рисуют треугольник вместо квадрата в$(Q,V)$самолет.

Другой способ взглянуть на это — понять, что всякий раз, когда вы перемещаете заряд, вы создаете магнитное поле. Даже прямой провод будет иметь определенную самоиндукцию.

Первоначально это обеспечит ограничение того, насколько быстро может увеличиваться ток. По мере выравнивания напряжений взаимодействие с магнитным полем фактически приведет к тому, что ток будет продолжать увеличиваться, хотя и медленнее, и когда два конденсатора находятся при одинаковом напряжении, ток будет максимальным. Коллапс магнитного поля будет продолжать переносить заряд с первого конденсатора на второй, пока весь заряд не будет передан. Затем процесс будет обратным, пока первый конденсатор не зарядится полностью, а второй не разрядится. Точная форма кривой тока на самом деле будет синусоидой.

Когда два конденсатора имеют одинаковый заряд, недостающая энергия$\frac{1}{2} CV^2$находится в магнитном поле,$\frac{1}{2} LI^2$.

Все это, конечно, игнорирует реальность излучаемой энергии, но служит этому уровню описания.