Является ли это замаскированной дельта-функцией Дирака?

Введите описание изображения здесь

Рассмотрим типичную эквивалентную схему детектора, где детектор можно рассматривать как идеальный генератор тока. я ( т ) . С я "=" я С + я р (токи через конденсатор и резистор), я р р "=" В и я С С "=" д В д т , уравнение цепи:

д В д т + В р С "=" я С .

Когда С идет к 0 , уравнение должно выглядеть В "=" я р как это бывает в извещателях с низким р С постоянный. Но если бы я хотел отправить С к нулю при решении дифференциального уравнения, т.е. В ( т ) "=" ∫ 0 т я С е т ′ − т р С д т ′ , чтобы получить тот же точный результат, я бы подумал, что е т ′ − т р С является своего рода двойной дельта-функцией Дирака. Подставляя в интеграл:

В ( т ) "=" ∫ 0 т я С 2 дельта ( т ′ − т ) р С д т ′ "=" я ( т ) р .

Это точно дельта? Правильно ли рассуждать таким образом?

Правильно это или нет, гораздо проще переписать ваше уравнение как С р д В д т + В "=" я р и вообще не играть в сложные математические игры.

Ответы (2)

  1. Да, ОП, по сути, построил одностороннее дельта-распределение Дирака.

    дельта [ 0 , ∞ [ ( Икс )   "="   лим ε ↘ 0 1 ε е − Икс / ε
    на положительной полулинии [ 0 , ∞ [ через обобщенную функцию , так что
    ∫ [ 0 , ∞ [ д Икс   дельта [ 0 , ∞ [ ( Икс )   ф ( Икс )   "="   ф ( 0 )
    для всех тестовых функций ф : [ 0 , ∞ [ → р .

  2. Обратите внимание, что распределение OP отличается от обычного двустороннего дельта-распределения Дирака. дельта р ( Икс ) на реальной линии р , что удовлетворяет

    ∫ р д Икс   дельта р ( Икс )   ф ( Икс )   "="   ф ( 0 )
    для всех тестовых функций ф : р → р .

  3. Это также объясняет, почему последняя формула OP имеет поправочный коэффициент 2.

У вас есть ссылка для более подробного анализа «односторонней дельта-функции»? Спасибо !
@ Винсент Фратичелли. Есть ли у вас правильное теоретико-распределительное определение «односторонней дельта-функции»?
Я узнал, что он существует на этом посту. Но я уже задавал себе вопрос о токах, индуцируемых на поверхности проводника, когда проводимость стремится к бесконечности. Существует та же проблема, потому что проводник существует только для г > 0

Более математическая обработка

У нас есть обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ):

α − 1 у ′ ( т ) + у ( т ) "=" ф ( т ) .
В нашем случае у ( т ) "=" В ( т ) , α "=" 1 р С , ф ( т ) "=" р я ( т ) .

ОДУ можно решить, найдя функцию Грина г α ( т ) удовлетворяющий

α − 1 г α ′ ( т ) + г α ( т ) "=" дельта ( т )
а потом получить решение у ( т ) как
у ( т ) "=" ( г α * ф ) ( т ) "=" ∫ − ∞ ∞ г α ( т − т ′ ) ф ( т ′ ) д т ′ .

Функция Грина, которая дает ответ только для т > 0 (так что это причинно) задается

г α ( т ) "=" α е − α т ЧАС ( т ) ,
где ЧАС ( т ) — ступенчатая функция Хевисайда .

Распределения и сходимость как таковые определяются тем, как они «действуют» или работают в интеграле при умножении на тестовую функцию. ф е С с ∞ ( р ) . Поэтому, чтобы показать, что г α ( т ) → дельта ( т ) в смысле распределений, когда α → ∞ , нам нужно показать, что

лим α → ∞ ∫ − ∞ ∞ г α ( т ) ф ( т ) д т "=" ∫ − ∞ ∞ дельта ( т ) ф ( т ) д т "=" ф ( 0 )
для всех ф е С с ∞ ( р ) .

Это просто. Использование изменения переменной т "=" с / α мы получаем

∫ − ∞ ∞ г α ( т ) ф ( т ) д т "=" ∫ − ∞ ∞ α е − α т ЧАС ( т ) ф ( т ) д т "=" ∫ 0 ∞ α е − α т ф ( т ) д т "=" ∫ 0 ∞ α е − с ф ( с / α ) д с / α "=" ∫ 0 ∞ е − с ф ( с / α ) д с → ∫ 0 ∞ е − с ф ( 0 ) д с "=" ∫ 0 ∞ е − с д с ф ( 0 ) "=" 1 ⋅ ф ( 0 ) .

Возможно, стоит упомянуть, что это линейное ОДУ, необходимое для его решения с помощью функции Грина.
+1, Надеюсь, есть правильный математический ответ.
@LL3.14. Я бы сказал, что это правильный математический ответ. Есть всего несколько вещей, которые нужно исправить, чтобы сделать его полностью строгим.
О да, извините, если я не совсем понял, я говорил, что ваш ответ был строгим.
Является ли это замаскированной дельта-функцией Дирака?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v