Эргодичность в модели квантовых димеров

Фон :

Модель квантового димера — это решетчатая модель, в которой каждая конфигурация представляет собой покрытие решетки связями ближайших соседей, как на рисунке слева:

Каждая из конфигураций является базисным состоянием в гильбертовом пространстве, и все они взаимно ортогональны. Патч 2x2 спинов называется плакеткой. Плакетка переворачиваема , если она содержит две параллельные связи (как зеленая плакетка на картинке; красная плакетка не переворачиваема).

Для каждого состояния можно определить два числа оборотов , рассматривая произвольный разрез тора (штриховая линия на рисунке) и подсчитывая, сколько димеров пересекает линию с черной точкой на одной стороне минус количество димеров, пересекающих линию с белой точкой на той же стороне. В приведенном выше примере количество витков как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении равно нулю. Это разлагает гильбертово пространство (на$L \times L$тор) в$(L+1)^2$секторов (каждый номер обмотки может принимать значения из$-\frac{L}{2}$к$+\frac{L}{2}$.

Гамильтониан системы

Первый член ( потенциал ) дает энергию V переворачиваемым пластинкам, а второй ( кинетический ) член переворачивает ее. Можно проверить, что гамильтониан не меняет число витков, т.е.

для всех$a$и$b$с разным номером обмотки. Однако в каждом из секторов обычно утверждается, что$H$является эргодическим, т. е. для любого$c$и$d$с той же парой витков существует$n \in \mathbb{Z}$, такой, что

Об этом говорится, например, в оригинальной статье :

Любые две димерные конфигурации с одинаковыми числами витков могут быть получены друг из друга повторным применением гамильтониана; ни один локальный оператор не имеет матричных элементов между состояниями с разным номером обмотки. Таким образом, числа оборотов обозначают несвязные сектора гильбертова пространства.

Вы также можете найти утверждение в этом (очень хорошо написанном) обзоре :

Для квадратной решетки кинетический член считается эргодичным в каждом топологическом секторе. В этом случае для каждого топологического сектора существует уникальное основное состояние, определяемое равноамплитудной суперпозицией всех димерных покрытий в этом секторе.

Я не думаю, что это утверждение верно: рассмотрите две конфигурации в середине и справа на первом рисунке и убедитесь в том, что обе они имеют номера витков 2 (горизонтальная) и 2 (вертикальная). Однако ни в одном из них нет переворачиваемой плакетки, а это означает, что гамильтониан на обоих тождественно равен нулю! Более того, я могу создать много таких изолированных конфигураций, поменяв местами заштрихованные лестницы, на самом деле правильная конфигурация была получена из середины, поменяв местами желтую и синюю лестницы. Таким образом я могу создать$2^{L/2}$изолированные государства (поскольку существуют$\frac{L}{2}$лестницы и для каждой из них я могу выбрать вертикальную или горизонтальную ориентацию. У них не будет одинакового номера обмотки, но они определенно изолированы от всех других состояний в том же секторе).

Причина, по которой я задаю этот вопрос, заключается в том, что вышеупомянутый гамильтониан в точке t = V = 1 естественным образом появился в моем исследовании. В этой точке, которую также называют точкой Рохсара-Кивельсона , имеется одно основное состояние для каждого набора состояний, связанных гамильтонианом в том смысле, который я описал выше. По приведенной выше конструкции он экспоненциально вырожден.

Мой вопрос :

Кажется, что люди игнорируют эти изолированные государства и утверждают, что настоящее вырождение$(L+1)^2$. Являются ли эти состояния физически неуместными? Почему мы можем пренебрегать ими?