Есть ли что-то похожее на теоремы Гёделя о неполноте в физике?

Нет, в физике нет и не может быть подобного утверждения. Это потому, что мы можем знать все, что нужно знать о математических системах, которые мы строим; в конце концов, мы установили их сами (но тогда теорема Гёделя о неполноте говорит нам, что могут быть особенности некоторых систем, которые остаются непознаваемыми; извините за вырезание того, что на самом деле говорит теорема, кстати).

Физика, с другой стороны, в конечном счете пытается смоделировать реальность. Проблема здесь в том, что у нас принципиально нет способа познать реальность как таковую; мы даже не можем быть уверены, что существует такая вещь, как реальность, хотя принимаем это за фундаментальную аксиому физики. Таким образом, все, что мы можем сделать, это предложить модели реальности, которую мы переживаем. Мы не можем знать, каким может быть отношение таких моделей к действительности.

Сначала я немного изменю этот вопрос. Рассматривайте квантовые состояния как квантовую информацию или квантовые биты, обрабатываемые машинами Тьюринга (ТМ), управляемыми гамильтонианами. Мы можем думать о процессе стирания символов при перемещении машины Тьюринга как о восстановлении с помощью вспомогательных регистров, поэтому необратимых процессов можно избежать. Я бы сказал, что лучше задуматься о том, проявляют ли алгоритмическую неполноту, доказанную Аланом Тьюрингом, что не существует универсальной машины Тьюринга (UTM), которая может определить состояние остановки, или, как выясняется, ряд других признаков, всех возможные машины Тьюринга, относится к квантово-механической эволюции. Итак, у нас есть некоторый гамильтониан, если система алгебраична Ли, это задается произведением корней, которые действуют как повышающие и понижающие операторы, и система развивается по учебнику. Может в этом есть какая-то алгоритмическая неполнота?

Прежде всего, я хочу сказать, что большинство физиков либо пожимают плечами, либо на самом деле могут довольно «разозлиться» на это утверждение. Большинство физиков думают, что нет. Конечно, если так думает большинство физиков и вам больше нечего делать, то, во что бы то ни стало, хотя бы задумайтесь над возможностью! Я также скажу в качестве второго мнения в этом абзаце, что, честно говоря, я не имею точного представления об этом, но почему бы хотя бы не подумать о возможности? Худшее, что может случиться, это то, что я ошибаюсь.

Где может возникнуть эта неполнота в физике? Я бы сказал, что одна из возможностей связана с квантовыми измерениями. Квантовая механика совершенно детерминистична, и она вычисляет эволюцию амплитуд, квадрат модуля которых дает вероятности результатов измерения. Однако у нас нет теории того, как на самом деле получается результат. Для этого нет никакой динамики, и попытки этого идут вразрез с теоремой Белла и другими ограничениями квантовой механики. Но природа производит результат! В квантовых интерпретациях есть пробелы, и они эффективно сводят квантовую механику к метафизическим категориям, которые не соответствуют действительности. Мы можем думать о процессе измерения как о наборе квантовых состояний, измеряемых другим набором квантовых состояний, обычно гораздо более квантовых состояний, и, в конце концов, это своего рода самореферентная петля.

Чтобы дать возможный физический случай системы, рассмотрим метрику Рейсснора-Нордстрема черных дыр (ЧД). На приведенной ниже диаграмме Пенроуза показаны нулевые геодезические, входящие в ЧД, которые накапливаются вблизи$r_+$. Предположим, что во внешней области есть машина Тернинга, которая вычисляет задачу без остановки. Падающий наблюдатель в вечной черной дыре в принципе обнаруживает вычисление за конечный период времени. Падающий наблюдатель или компьютер может быть универсальной машиной Тьюринга, которая определяет состояние остановки любой возможной машины Тьюринга. Это пространство-время Маламента-Хогарта (МХ), которое подобно машине гиперТьюринга способно решать невычислимые задачи. ЧД в принципе поглощает кубиты и позволяет внутренним наблюдателям сделать вывод, остановится ли какая-либо проблема или нет.Этот аргумент верен для вечной ЧД, тогда как в действительности ЧД излучают излучение Хокинга и не вечны. Также такие ЧД имеют сложные квантовые волосы. Диаграмма была изменена, чтобы проиллюстрировать это, поскольку ЧД имеет конечную продолжительность. Следовательно, ЧД с волосами не сможет определить, остановятся ли все возможные машины Тьюринга, но сможет определить, остановится ли значительное их число. Это отрегулирует вероятность остановки Chaitin, связанную с константой Chaitin. Вероятность того, что машина Тьюринга может остановиться или нет, не поддается универсальному вычислению. Следовательно, кости были каким-то непостижимым образом благоприятно загружены, чтобы определить статус остановки. Физическая машина гипер-Тьюринга — это усеченная версия идеальной.

Потенциально теорема Геделя имеет какое-то отношение к сознанию. Дуглас Хофштадтер написал занимательную книгу$\it Godel~Escher~Bach$которые исследовали идею сознания как самоотнесения. Теорема Геделя и теорема Леба позволяют свести недоказуемость к модальной логике, см. Булос Берджесс и Джеффрис «Вычислимость и логика». За$\square$означает обязательно и предложение$p$тогда$\square p~\rightarrow~p$верно, но теорема Геделя указывает$\exists p:p~\rightarrow~\neg\square p$. Это контрпример к аргументу Анслема в пользу существования Бога. Это означает, что предложение, являющееся неподвижной точкой некоторого предиката, построенного из доказуемых и истинных функций, эквивалентно функциональной комбинации ложных утверждений. Это означает, что в модальном смысле$\neg\square\neg~=~\Diamond$, что означает «возможно», указывает на своего рода «свободу», существующую в математике. В смысле вычислений система, такая как усеченная машина гипер-Тьюринга, может оценивать истинностное значение предложений в соответствии с числом Чайтина.$\Omega$.

Возможно, сознание также является усеченной гипер-машиной Тьюринга, приближающейся к идеалу полностью самореферентной системы, которая может «выпрыгнуть из алгоритма» или совершить прыжок воображения. Усеченная система может выполнять эти действия, но не в полной «богоподобной» форме. Идеальная машина гипер-Тьюринга способна выполнять «транс-доказуемые» операции, которые могут включать выбор между недоказуемыми «аксиомами» для построения модели, необходимой для функционирования этой системы. Для физической системы система несовершенна, и в лучшем случае она может работать в рамках недоказуемых вероятностей Чайтина. Тогда существует отношение$\Diamond~\leftrightarrow~\Omega$который действует в этих пределах. Тот факт, что это включает$\Diamond$или возможность означает, что с физической точки зрения существует относительная энтропия состояний, связанная с этой неопределенностью.

Это касается физики квантовой гравитации, и я думал, что вопросы, касающиеся декогерентности волновой функции в излучении Хокинга, во многом связаны с проблемой измерения. Затем мы могли бы подумать, какое отношение это имеет к математике. Вполне возможно, что система троек Фрейденталя$E_8$или же${\cal O}^3$может быть структурой, лежащей в основе теории струн. Это содержит$26$размерная бозонная струна, а также содержит решетку Пиявки. Решетка Лича или спорадическая группа Матье${\cal M}_{24}$является автоморфизмом группы «Чудовище» Фишера-Грейсса. Было обнаружено, что это, в свою очередь, имеет отношение к теории чисел, называемой самогоном или теневым самогоном. Мою черную собаку я назвал умбрал. Теперь мы можем видеть, как каким-то тонким образом в математике может всплыть теорема Гёделя.

Так что это довольно спекулятивно, и я знаю, что найдутся те, кто этим недовольны. Однако люди, которые следуют правилам и всегда делают то, что им говорят, редко появляются в истории.

Долгое время я был очарован набором теорем, которые, кажется, определяют границы познаваемой вселенной. И под этим я не подразумеваю просто предел того, что мы знаем сегодня, который можно расширить, когда мы узнаем больше завтра. Я имею в виду абсолютные пределы науки и разума, за которые мы никогда не отважимся, как бы мы ни были умны. Эти граничные метатеоремы включают следующее:

• Неопределенность Гейзенберга (физика) — существует предел точности измерения свойств физических объектов.
• Неравенство Белла (физика) — это ограничение относится не только к нашей способности точно измерять вещи, но и к нашей фундаментальной способности знать что-то о физических объектах.
• Неполнота Гёделя (математика) — Любая попытка объяснить все с помощью небольшого набора аксиом обречена быть либо незаконченной, либо ошибочной.
• Неразрешимость Тьюринга (вычисления) — существует бесконечно много проблем, которые не может решить ни один цифровой компьютер.
• Несводимость Чайтина (вычисления и математика) — почти каждое число (вероятность = 1) является «случайным» в том смысле, что его нельзя вычислить с помощью алгоритма, который намного короче, чем цифры числа. То есть самое короткое имя для номера — это само число. Случайность существует как в математике, так и в физике!

Обратите внимание на последнее слово в каждом из названий теорем. Каждый из них выражает негатив. Каждая из них говорит нам что-то о том, чего мы не можем делать, куда мы не можем идти, чего мы не можем ни при каких обстоятельствах знать. Интуиция подсказывает, что эти пять принципов, несмотря на разные области их применения, каким-то образом связаны между собой. На самом деле они кажутся совершенно одинаковыми или, по крайней мере, проистекают из одного и того же основного явления. А именно: Фундаментальная случайность существует. Это не просто маленькая бородавка в нашем логическом мире, а бездонный океан, окружающий его. Мы никогда не сможем узнать, что происходит в этом океане случайностей. Мы можем только мельком увидеть форму береговой линии нашего маленького острова разума, когда начинают проясняться перечисленные выше теоремы и принципы.

Конкретно для физики Принцип неопределенности Гейзенберга в основном гласит, что определенные пары свойств физических объектов — такие простые вещи, как, где они находятся и как быстро они движутся — не могут быть одновременно измерены с идеальной точностью. Чем тщательнее вы измеряете положение, скажем, электрона, тем менее уверены в его скорости в данный момент. Если вы очень, очень, очень тщательно измеряете положение, то любое число, которое вы наблюдаете для скорости, по сути бессмысленно; это случайно за пределами определенного числа знаков после запятой. Теперь этот предел точности этих комбинированных измерений совершенно незначителен для более крупных объектов, таких как шары для боулинга или BB, но для небольших объектов, таких как электроны и фотоны, он имеет значение. Общий предел нашей точности измерения определяется приведенной постоянной Планка, которая составляет около 35 знаков после запятой. Кроме того, физические свойства вообще не поддаются измерению.

HUP можно понять, если подумать о том, как измерения влияют на измеряемый объект. Чтобы измерить положение электрона, нужно посветить на него светом, а для более точного измерения требуются фотоны с более короткой полосой пропускания и более высокой энергией. Когда на электрон воздействует фотон высокой энергии, это влияет на его скорость, что приводит к случайности.

И именно так это представлялось и обсуждалось сначала как ограничение экспериментальной точности. Учебник по квантовой физике, которым я пользовался в колледже, издание 1974 года «Квантовая физика» Айсберга и Резника, объяснял принцип неопределенности, говоря: «Наша точность измерения по своей природе ограничена самим процессом измерения [...]». Альберт Эйнштейн и многие другие выдающиеся современники Гейзенберга считали, что все еще должен существовать некий базовый набор «скрытых переменных», которые контролируют Вселенную и дают точные, детерминированные ответы на любой вопрос, даже если мы навсегда ограничены в нашей способности экспериментально проверить эти ответы из-за принципа неопределенности.

Эйнштейн вместе со своими коллегами Борисом Подольским и Натаном Розеном даже написали известную статью, в которой почти в насмешку доказывали, что квантовая механика должна быть ошибочной, иначе мир, каким мы его знаем, был бы поистине странным местом. Для этого они предполагали только две, казалось бы, очевидные вещи о мире. Во-первых, объекты обладают внутренними свойствами, такими как положение и скорость, даже если их никто не измеряет. Это они называли «реальностью». И, во-вторых, измерения реальности в одном месте и времени не могут мгновенно воздействовать на другие, далекие реальности, свойство, которое они назвали «локальностью». Эйнштейн, Подольский и Розен в основном говорили, кто захочет жить в мире, где реальность и локальность не имеют места. Другими словами, они считали, что наша дружественная, упорядоченная Вселенная не может быть случайной по своей природе.

Но они ошибались.

В 1964 году профессор Джон Стюарт Белл доказал результат, который некоторые назвали «самым глубоким открытием науки». Скромное название его блестящей статьи «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» восходит к «парадоксу», описанному Эйнштейном и его приятелями. Белл доказал, что Вселенная на самом деле фундаментально, по своей сути неизбежно случайна. Точнее, он показал, что никакая детерминистская теория, основанная на скрытых переменных, не может объяснить все наблюдаемые результаты квантовой механики. И если это означает, что нет такой вещи, как реальность или локальность, то пусть будет так. Либо принцип реальности, либо принцип локальности (или оба) неприменимы в нашей вселенной! Действительно странное место.

Принцип неопределенности Гейзенберга — это не просто ограничение того, насколько точно мы можем измерять вещи. Это предел того, что нам позволено знать о вселенной, в которой мы живем. Существуют физические величины, которые абсолютно непредсказуемы. В самом основании знакомого нам физического мира лежит Божественный Случай.

Подробнее о The Divine Random .

Математика — это язык, доведенный до предела объективности и точности, где все понятия четко определены и взаимосвязаны, а их артикуляции подчиняются четким правилам. В этом контексте теорема Гёделя утверждает фундаментальную неполноту самого языка.

Пока мы определяем физику тем, что мы знаем о мире, она подвергается тому же ограничению: язык никогда не будет достаточно полным, чтобы описать мир, потому что язык по самой своей сути внутренне ограничен.

Теперь физика — это больше, чем разработка описания реальности: это фактическое взаимодействие с реальностью на все более и более тонких и глубоких уровнях. Нет никаких признаков жесткого ограничения этого стремления.

Да, в физике существуют определенные «теоремы о неполноте». Я знаю о «неразрешимости спектральной щели» в квантовой физике многих тел. В недавнем препринте , а также в рецензируемой статье в Nature ситуация описывается более полно. Ниже воспроизведена аннотация к статье в Nature , которая дает лучшее изложение доказательства, чем я мог предположить.

Спектральная щель — разница энергий между основным состоянием и первым возбужденным состоянием системы — занимает центральное место в квантовой физике многих тел. Многие сложные открытые проблемы, такие как гипотеза Холдейна, вопрос о существовании топологических фаз спиновой жидкости с щелями и гипотеза щели Янга-Миллса, касаются спектральных щелей. Эти и другие проблемы являются частными случаями общей проблемы спектральной щели: задан гамильтониан квантовой системы многих тел, имеет ли он щель или нет? Здесь мы докажем, что это неразрешимая задача. В частности, мы строим семейства квантовых спиновых систем на двумерной решетке с трансляционно-инвариантными взаимодействиями ближайших соседей, для которых проблема спектральной щели неразрешима. Этот результат распространяется на неразрешимость других низкоэнергетических свойств, такие как существование алгебраически затухающих корреляций основного состояния. Доказательство сочетает методы гамильтоновой сложности с апериодическими мозаиками для построения гамильтониана, основное состояние которого кодирует эволюцию квантового алгоритма оценки фазы, за которым следует универсальная машина Тьюринга. Спектральный разрыв зависит от результата соответствующей «проблемы остановки». Наш результат означает, что не существует алгоритма для определения того, является ли произвольная модель лаконичной или бесщелевой, и что существуют модели, для которых наличие или отсутствие спектральной лакуны не зависит от аксиом математики. построить гамильтониан, основное состояние которого кодирует эволюцию квантового алгоритма оценки фазы, за которым следует универсальная машина Тьюринга. Спектральный разрыв зависит от результата соответствующей «проблемы остановки». Наш результат означает, что не существует алгоритма для определения того, является ли произвольная модель лаконичной или бесщелевой, и что существуют модели, для которых наличие или отсутствие спектральной лакуны не зависит от аксиом математики. построить гамильтониан, основное состояние которого кодирует эволюцию квантового алгоритма оценки фазы, за которым следует универсальная машина Тьюринга. Спектральный разрыв зависит от результата соответствующей «проблемы остановки». Наш результат означает, что не существует алгоритма для определения того, является ли произвольная модель лаконичной или бесщелевой, и что существуют модели, для которых наличие или отсутствие спектральной лакуны не зависит от аксиом математики.

Существует вопрос, «сколько мы можем знать в физике», который в настоящее время беспокоит людей, изучающих квантовую гравитацию. Я слышал об этом из лекции Нимы Аркани-Хамед (которую можно найти здесь ), и идея примерно такова:

В релятивистской квантовой механике исследование явлений с высокой характерной шкалой энергии эквивалентно исследованию масштабов малых длин. Таким образом, эксперименты, подобные LHC, пытаются упаковать как можно больше энергии в как можно меньшую область пространства, чтобы найти еще более массивные (т.е. энергичные) частицы.

Масштабы энергии, связанные с гравитацией, настолько велики, что никто никогда не надеется исследовать их на ускорителе частиц. Однако существует еще более фундаментальная концептуальная проблема с исследованием квантовой гравитации, которая предполагает, что некоторые эффекты квантовой гравитации могут оказаться невозможными даже в принципе : чтобы достичь необходимой плотности энергии для наблюдения эффектов квантовой гравитации, вам придется поместите так много энергии в такую ​​маленькую область пространства, что она схлопнется в черную дыру, и, таким образом, вы якобы не сможете получить какую-либо информацию из этого процесса.

Это активное исследование, и я бы сказал, что оно совсем не изучено. Тем не менее, это интересная параллель с теоремами Гёделя, но с более физическим уклоном: аргумент ничего не говорит о том, сколько мы можем узнать о физике, анализируя ее математическую структуру, а скорее о том, сколько мы можем узнать из этого, возможно, даже больше. Фундаментальный принцип физики: Эксперименты!

Вся физика моделирует наблюдения с точки зрения математики. Так что, конечно, может оказаться, что какая-то теорема, скажем, о реальности недоказуема из-за неполноты Гёделя. И этому может быть какое-то разумное физическое объяснение. Но такой теории не существует, по крайней мере, на данный момент, насколько мне известно.

Теорема Гёделя требует наличия письменного языка (например, английского), арифметики, включающей простые числа, и некоторых аксиом, из которых вы пытаетесь вывести, являются ли предложения на языке истинными или ложными. Гёдель написал предложение, истинность или ложность которого нельзя было доказать.

Физика, кажется, удовлетворяет требованиям Гёделя. Мы пишем предложения на языке, используем арифметику с простыми числами и имеем аксиомы, из которых мы выводим предложения о результатах измерений как истинных или ложных.

Сначала можно было бы заключить, что физика никогда не будет полной. Будет какое-то предложение, которое мы не сможем доказать с помощью аксиом, но мы сможем провести измерение с помощью наших инструментов, чтобы определить его истинность. Следовательно, мы должны добавить еще больше аксиом, чтобы предсказать измерение... Физика никогда не бывает полной.

Однако мы уже предусмотрели в наших теориях, что на некоторые предложения нельзя ответить ни аксиомами, ни измерениями. Например, «фаза волновой функции электрона вокруг атома водорода в конкретном (x, y, z, t) равна$\pi$радианы" правда или ложь? .... вопрос, на который, как мы признаем, нельзя ответить с помощью измерений.

Так что, возможно, когда-нибудь в физике появится полный набор аксиом, и неразрешимые вопросы Гёделя будут именно теми вопросами, на которые, по утверждению теории, измерение не может ответить.