Вариация действия с вариациями временных координат

Это вариационная задача со свободным конечным временем , и поступают следующим образом:

$$\delta S= \int_{t_i}^{t_f+\delta t_f} L \left(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t\right) dt - \int_{t_i}^{t_f} L \left(q, \dot{q}, t\right) dt$$

После нескольких преобразований и интегрирования по частям в итоге получается обычное дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа плюс граничное условие, включающее$\delta t_f$:

$$0 = L(q, \dot{q}, t) \delta t_f + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(\delta q_f - \dot{q} \delta t_f)$$

Шаги вывода:

а. Разложим первый интеграл в ряд Тейлора, сохранив члены 1-го порядка и разделив пределы интегрирования (и сделав любые сокращения):

$$\delta S= \int_{t_f}^{t_f+\delta{t_f}} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

б. Общая вариация состоит из 2 вариаций;$\delta{q}$и$\delta{t_f}$. Интегрирование по маленькому интервалу, т.е.$[t_f, t_f + \delta{t_f}]$эффективно эквивалентно умножению на$\delta{t_f}$:

$$\delta S= \delta{t_f} \left[ L + \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

в. Такие термины, как$\delta{t_f}\delta{q}$или$\delta{t_f}\delta{\dot{q}}$являются вариациями 2-го порядка и могут быть отброшены:

$$\delta S= \delta{t_f} L + \int_{t_i}^{t_f} \left[ \frac{\partial{L}}{\partial{q}}\delta{q} + \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q}}}\delta{\dot{q}} \right] dt$$

д. Интегрирование по частям дает обычное дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа. плюс граничное условие.

е. О граничном условии во времени$t_f$надо:

Общая вариация$q$в$t_f$является

$$\delta{q_f} = \delta{q(t_f)} + (\dot{q} + \delta{\dot{q}})\delta{t_f} = \delta{q(t_f)} + \dot{q}\delta{t_f}$$

или

$$\delta{q(t_f)} = \delta{q_f} - \dot{q}\delta{t_f}$$

Подсказка для @Y2H:

Полная вариация на границе$\delta{q_f}$представляет собой просто сумму вариаций пути и времени на границе (поскольку их можно рассматривать как независимые вариации), т.е.$(\delta{q(t_f)}) + (q(t_f+\delta{t_f})+\delta{q(t_f+\delta{t_f})}-q(t_f)-\delta{q(t_f)})$и последний может быть разложен (до вариаций 1-го порядка) как$(\dot{q}(t_f) + \delta{\dot{q}(t_f)})\delta{t_f}$

PS: Прошло много времени с тех пор, как был опубликован этот ответ, и у меня нет под рукой моих заметок, но надеюсь, что вышеизложенное даст вам подсказку.

PS2: вот несколько конспектов лекций по обобщенному вариационному исчислению со свободными конечными точками.

I) Подсказка: разложите полную бесконечно малую вариацию

$$\tag{A} \delta q~=~\delta_0 q + \dot{q} \delta t$$

в вертикальной бесконечно малой вариации$\delta_0 q$и горизонтальная бесконечно малая вариация$\delta t$. Точно так же полная бесконечно малая вариация становится

$$\tag{B} \delta I~=~\delta_0 I + \left[ L ~\delta t \right]_{t_1}^{t_2},$$

где вертикальная часть следует стандартному аргументу Эйлера-Лагранжа

$$\tag{C} \delta_0 I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta_0q \right]_{t_1}^{t_2},$$

и мы для удобства определили лагранжевы импульсы

$$\tag{D} p~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}.$$

Теперь объедините уравнения. (AD) для получения ур. (65) в работе. 1:

$$\tag{65} \delta I~=~ \int_{t_1}^{t_2}\! dt~\left[\frac{\partial L}{\partial q}-\dot{p} \right] \delta_0 q + \left[ p ~\delta q - (p\dot{q}-L)\delta t\right]_{t_1}^{t_2},$$

II) Идеологически следует подчеркнуть, что Ref. 1 не заинтересован в предложении вариационного принципа для невертикальных вариаций (такого, например, как принцип Мопертюи или вариант принципа максимума Понтрягина и т. д.). Ссылка 1 просто вычисляет невертикальные вариации в рамках теории, которая все еще руководствуется принципом стационарного действия (для вертикальных вариаций).

III) Ссылка. 1 в основном использует ур. (65) для вывода свойств действия Дирихле на оболочке $^1$

$$\tag{E} S(q_2,t_2;q_1,t_1)~:=~I[q_{\rm cl};t_1,t_2],$$

ср. например, этот пост Phys.SE.

Использованная литература:

1. Л. Б. Сабадос, Квазилокальная энергия-импульс и угловой момент в ОТО: обзорная статья, Living Rev. Relativity 7 (2004) 4 .

--

$^1$Ссылка 1 звонок$S(q_2,t_2;q_1,t_1)$главная функция Гамильтона-Якоби. Хотя это связано, главная функция Гамильтона-Якоби $S(q,P,t)$строго говоря, другая функция, ср. например, этот пост Phys.SE.