Является ли принцип наименьшего действия краевой задачей или задачей с начальными условиями?

Вот вопрос, который беспокоил меня с тех пор, как я был второкурсником в университете, и, вероятно, должен был задаться перед выпуском: в аналитической (лагранжевой) механике вывод уравнений Эйлера-Лагранжа из принципа наименьшего действия предполагает, что начало и координаты конца в начальный и конечный моменты времени известны. Как следствие, любые изменения физического пути должны исчезать на его границах. Это удобно компенсирует вклады граничных членов после интегрирования по частям, и, устанавливая требование минимальности действия, мы получаем уравнения ЭЛ.

Все это красиво и модно, но наша цель — найти местонахождение частицы в определенный момент времени в будущем, чего мы априори не знаем; после вывода каких-либо уравнений движения для системы мы решаем их, применяя начальные значения вместо граничных условий.

Насколько согласуются эти два подхода?

Большинство методов лечения содержат сноску или примечание о том, что метод может быть расширен для включения вариаций конечных точек и не уточняется (например, как Гольдштейн, так и Марион и Тортен). Боюсь, я никогда не занимался этим вопросом.
Привет, Бенджи, и добро пожаловать на биржу стека физики! Это (и был) на самом деле отличный вопрос :-) Единственное, что я бы посоветовал вам запомнить на будущее, это не ставить подпись или приветствие (включая тип «надеюсь, я не делаю ничего плохого»); как правило, мы предпочитаем, чтобы вопросы были максимально лаконичными. Кроме того, часто бывает полезно сформулировать заголовок как вопрос, но это не обязательно.

Ответы (5)

I) Задачи с начальным значением и краевые задачи — это два разных класса вопросов, которые мы можем задавать о Природе.

Пример: Чтобы быть конкретным:

  1. проблема с начальным значением может заключаться в том, чтобы спросить о классической траектории частицы, если начальное положение д я и начальная скорость в я даны,

  2. в то время как краевая задача может заключаться в том, чтобы спросить о классической траектории частицы, если начальное положение д я и конечное положение д ф заданы (т.е. граничные условия Дирихле).

II) Для краевых задач нет никакой телеологии , потому что мы не выводим (100-процентно детерминированное) предсказание конечного состояния, а вместо этого просто констатируем, что если конечное состояние такое-то и такое-то, то мы можем вывести такой и такой.

III) Сначала обсудим классический случай. Обычно уравнения эволюции (также известные как уравнения движения (eom), например, 2-й закон Ньютона) известны , и, в частности, они не зависят от того, хотим ли мы задать вопрос о начальном значении или вопрос о граничном значении.

Предположим, что еом можно вывести из принципа действия. (Поэтому, если мы случайно забыли eom, мы всегда можем получить их заново, выполнив следующие дополнительные вычисления: измените действие с фиксированными (но произвольными) граничными значениями, чтобы определить eom. Конкретные фиксированные значения на границе не имеют значения. имеет значение, потому что мы хотим лишь напомнить себе об этом, а не определить фактическое решение, например, траекторию.)

IV) Далее рассмотрим либо задачу с начальным значением, либо задачу с краевым значением, которую мы хотели бы решить.

Во-первых, если у нас есть задача с начальными значениями, мы можем решить еом напрямую с заданными начальными условиями. (Кажется, именно здесь ОП может захотеть поставить задачу с граничными значениями, но это будет как раз побочное вычисление, упомянутое в разделе III, и оно не имеет ничего общего с рассматриваемой проблемой начальных значений.)

Во-вторых, если у нас есть краевая задача, есть две возможности:

  1. Мы могли бы решить eom напрямую с заданными граничными условиями.

  2. Мы могли бы поставить вариационную задачу, используя заданные граничные условия.

V) Наконец, кратко упомянем квантовый случай. Если бы мы попытались сформулировать интеграл по траекториям

∫ Д д   е я ℏ С [ д ]

в качестве проблемы с начальным значением мы столкнулись бы с различными проблемами:

  1. Понятие классического пути было бы нечетким. Это связано с тем, что понятие функциональной производной

    дельта С [ д ] дельта д ( т )
    было бы плохо определено, в основном потому, что мы не можем применить обычный прием интегрирования по частям, когда (окончательные) граничные члены не равны нулю.

  2. Чтобы указать как начальную позицию д я и начальная скорость в я нарушает принцип неопределенности Гейзенберга .

Спасибо QMechanic! Я поставил свой вопрос в строгом классическом контексте, поэтому, хотя я согласен с тем, что ограничение неопределенности действительно проблематично, технически оно не существует в лагранжевом формализме.
Итак, ваш второй пункт следует интерпретировать следующим образом: я знаю, что частица находится в данной точке в начальный момент времени и будет в каком-то еще неизвестном месте в более позднее время, которое я смогу измерить с произвольной точностью. (потому что я отрицаю неопределенность). Требуя минимальных действий, я нахожу дифференциальное уравнение, которое определяет физический путь между двумя точками, но теперь, технически, я могу вместо этого решить уравнение с начальными значениями, чтобы «найти», какое конечное положение дало бы этот начальный импульс, если бы проблема решается в граничных условиях. Я близко?
Я обновил ответ.

Обычный вывод уравнений Эйлера-Лагранжа заставляет нас предположить, что и начальные, и конечные условия фиксированы. Однако, когда кто-то на самом деле выводит уравнения, он видит, что существуют дифференциальные уравнения во времени, поэтому, зная начальное состояние, включая скорости (или любые другие производные, необходимые для определения начальной точки фазового пространства), можно вывести значения в бесконечно малый момент времени.

Вот почему «телеологический», акаузальный характер принципа наименьшего действия есть лишь иллюзия. Траектория во времени т на самом деле не зависит от каких-либо «предполагаемых» значений полей в более поздние времена. Этот факт может быть неочевидным сразу, когда сформулирован принцип, но, тем не менее, он верен и его легко увидеть посредством математического вывода того, что следует из принципа.

Как я вас понимаю, вы имеете в виду, что только потому, что уравнения дифференциальны по времени, это требует, чтобы проблема была задачей с начальным значением? Я сомневаюсь, что это действительно то, что вы имели в виду. Можете ли вы сослаться на вывод, в котором проявляется это различие?
@Lubosh Motl: Вы писали: "Траектория во времени т на самом деле не зависит ни от каких «предполагаемых» значений... в более поздние времена». Но да, зависит: если только д ( т 1 ) известно, то дифференциальное уравнение определяет целое семейство возможных д ( т 2 ) и только окончательные известные данные помогают зафиксировать его и найти промежуточную траекторию.
Бенджи, я не понимаю твоего беспокойства. Тот факт, что уравнения являются дифференциальными, означает, что можно ставить и решать начальные задачи. Это означает, что должны быть заданы как начальные координаты, так и скорости (или импульсы). В качестве альтернативы можно указать начальные и конечные условия, но только координаты: импульсы/скорости должны быть оставлены свободными. Попытка наложить как начальные, так и конечные условия как для координат, так и для импульсов явно означала бы переопределенность проблемы, которая в общем случае не имеет решений.
Я полностью понимаю, что наложение обоих ограничений создает переопределенную проблему. Ясно, что нужен только один набор условий — мне неясно, какое из них используется в контексте наименьшего действия. Почему оно выводится при одном предположении, а решается при другом?
«Траектория в момент времени t на самом деле не зависит от каких-либо «предполагаемых» значений полей в более поздние моменты времени». Точка зрения Фейнмана состоит в том, что, хотя это сбивает с толку, ваше утверждение неверно. Путь частицы зависит от того, где вы выберете ее конечную точку. Один из примеров, который он приводит, — это дифракция света; путь, по которому следует фотон, фактически меняется в зависимости от того, где вы решите наблюдать конечную точку пути. Головоломка, но это так работает. Раздел 26-5 feynmanlectures.caltech.edu/I_26.html
Нет, это только наивно выглядит, что эти законы физики акаузальны, но если вы подсчитаете количество акаузальности, вы получите точный ноль.

Лучший способ понять это телеологическое свойство — это интеграл по траектории: требуется конечное граничное условие, потому что действие — это фаза амплитуды для траектории, а стационарное условие говорит о том, что вы выбираете траекторию стационарной фазы, так что вклады складываются последовательно.

Тогда связь между этим и дифференциальной формулировкой становится очевидной, как объясняет Любош Мотль. Условие экстремального пути обеспечивается локальным дифференциальным уравнением. В этом нет ничего таинственного, потому что сумма по всем путям вовсе не телеологична, она становится телеологической, если учесть, что вы, кажется, выбрали стационарный путь, но это следствие отмены вдали от стационарного пути.

Эта бумага:

«Вывод» уравнения Шредингера Фейнманом

важным образом упоминает, что все, что верно для «всего пути», также должно быть верно для частей пути, включая бесконечно малые части. Если действие не было экстремальным на какой-то части пути, то эту часть можно было заменить другим подпутем, для которого оно было, что противоречит исходному предположению, что полный путь был экстремальным.

Таким образом, принцип наименьшего действия применим и к участкам пути, включая бесконечно малые участки. У меня есть ощущение, что, строго говоря, именно так мы и получаем эом.

Математически это краевая задача по определению, но физически она практикуется как задача с начальными условиями. Вспомните уравнение Ньютона:

п ( т + г т ) знак равно п ( т ) + Ф ( т ) г т
Это означает значение следующего момента п ( т + г т ) определяется локальными значениями п ( т ) а также Ф ( т ) , и никакие будущие данные не задействованы. Это уравнение сначала было открыто как дифференциальное с начальными (известными) условиями, и только позже был открыт «интегральный вывод» при условии известных начальных и конечных координат. Математически краевая задача верна и возможна, но не физически.

Является ли принцип наименьшего действия краевой задачей или задачей с начальными условиями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v