Вывод Гольдштейна «принципа наименьшего действия»

Уже есть несколько хороших ответов, показывающих алгебру. Здесь мы сделаем некоторые комментарии к вопросу (v4) о терминологии и обозначениях, которые могут прояснить кое-что. (далее мы ссылаемся на$q$позиционное пространство как вертикальное пространство и$t$ось времени как горизонтальное пространство.)

1. Обычно принцип наименьшего действия относится к принципу стационарного действия/принципу Гамильтона.

   $$\delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~0. \tag{2.2}$$ В этом вариационном принципе бесконечно малая вариация$\delta q^i$чисто вертикальный$\delta t=0$, а также начальное и конечное время$t_i$и$t_f$остаются фиксированными.

2. Обратите внимание, что то, что Гольдштейн в Ref. 1 ошибочно называет принцип наименьшего действия обычно называют принципом сокращенного действия/принципом Мопертюи

   $$\Delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~p_j \dot{q}^j~~=~0, \tag{8.80}$$ ср. например, ссылка 2. В этом вариационном принципе бесконечно малая вариация $$\Delta q^j~=~ \delta q^j + \dot{q}^j \Delta t \tag{8.76}$$ теперь состоит как из вертикальных, так и из горизонтальных вариаций. Полная энергия$E$всех путей остается фиксированным и одинаковым; а начальное и конечное время$t_i$и$t_f$Бесплатно.

3. Для автономных систем два приведенных выше вариационных принципа можно рассматривать как преобразования Лежандра друг друга по отношению к двойственным переменным Лежандра.

   $$E\quad\longleftrightarrow\quad \Delta t~:=~t_f-t_i.$$ В обоих вариационных принципах мы обычно сохраняем начальную и конечную позиции$q^j_i$и$q^j_f$зафиксированный.

Использованная литература:

1. Г. Гольдштейн, Классическая механика; Раздел 8.6.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика . 1, 1976;$\S 44$.

Вы можете сломать$\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$в$\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} +\int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$. Затем из этих трех частей$\int_{t_1}^{t_2}$произведение сочетается с$-\int_{t_1}^{t_2} L(0) dt$кусок, чтобы дать вам$\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$.

Это значит, что$\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$должен дать вам$L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1$. Давайте посмотрим, как это происходит. В общем, у нас есть$\int_x^{x+h} f(x) dx = F(x+h)-F(x) \approx F'(x)h = f(x)h$, где$F$является производной от$f$. Применив это к$\int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$, мы получаем$L(t_2)\Delta t_2$. Обратите внимание, что здесь мы не указали, является ли$L$в этом выражении должен оцениваться на фактическом или измененном пути. Это потому, что эти пути очень близки друг к другу, поэтому это не имеет значения на том уровне приближения, который мы делаем. Во всяком случае, оценивая$t_1$кусок, мы находим$\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1}L(\alpha) dt=-\int_{t_1 }^{t_1+ \Delta t_1}L(\alpha) dt = -L(t_1)\Delta t_1$.

Прибавив два получившихся кусочка из предыдущего пункта к получившемуся куску из первого пункта, получим$L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$, что мы и хотели.