Почему действие Намбу-Гото и действие Полякова эквивалентны на квантовом уровне?

Интеграл по путям, включающий квадратный корень Намбу-Гото в показателе степени, представляет собой очень сложное животное. Особенно в сигнатуре Минковского не существует абсолютно универсального метода для определения или вычисления интегралов по траекториям с такими общими показателями.

Поэтому, если вы хотите вообще понять смысл таких интегралов по путям, вам нужно манипулировать ими способами, аналогичными переходу от Намбу-Гото к Полякову. Тот факт, что эти переходы обоснованы классически или алгебраически, является основанием для того, чтобы сказать, что вы даете разумное определение интегралу по путям Намбу-Гото.

Если бы у вас гипотетически были разные значения интегралов пути Намбу-Гото (и функций Грина), вы все равно могли бы попытаться выполнить шаги, введение дополнительных$h_{ab}$вспомогательная метрика и преобразования для получения формы Полякова. Таким образом, если бы существовало какое-то другое значение интеграла пути Намбу-Гото, то должен был бы быть способ увидеть его и в переменных Полякова.

Но интеграл по путям Полякова ведет себя гораздо лучше (также перенормируемый, безаномальный в$D=26$и т. д.), особенно когда вы исправляете метрику мирового листа$h_{ab}$к плоскому или столь же простому анзацу. Интеграл по путям Полякова в значительной степени однозначен и хорошо себя ведет, поэтому из него не может быть никакого другого разумного результата, а из-за связи с действием Намбу-Гото не может быть никакого другого достаточно значимого результата. значение интеграла пути Намбу-Гото.

Я думаю, что вместо того, чтобы спрашивать, являются ли два хорошо определенных объекта одним и тем же, правильное отношение к этому вопросу состоит в том, чтобы признать, что интеграл пути Намбу-Гото (или квантовая теория, основанная на нем) априори плохо определен, эвристически вдохновлен. , и мы пытаемся построить осмысленную четко определенную квантовую теорию на основе этого эвристического вдохновения. И переход к исчислению типа Полякова — это не просто вариант, это практически неизбежный шаг в построении квантовой теории, основанной на эвристике Намбу-Гото.

I) Напомним, что формулировка интеграла по путям существует (по крайней мере) в двух версиях: лагранжевой и гамильтоновой. Часто утверждают, что гамильтонова версия более фундаментальна, ср. например , этот пост Phys.SE.

II) С одной стороны, анализ Дирака-Бергмана/сингулярное преобразование Лежандра дает, что плотность гамильтониана Намбу-Гото (NG) лагранжиана читается

$${\cal L}_{NG,H} ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\},\tag{1}$$

с двумя ограничениями первого класса

$$\chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0,\tag{2}$$

см., например , этот пост Phys.SE. Здесь$\lambda^0$а также$\lambda^1$– множители Лагранжа для ограничений первого класса (2).

III) Исходная плотность лагранжиана квадратного корня Намбу-Гото

$$\begin{align} {\cal L}_{NG}~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0, \end{align}\tag{3}$$

повторно получается путем интегрирования переменных$P$,$\lambda^0$а также$\lambda^1$в плотности гамильтониана Намбу-Гото лагранжиана (1), если ограничить переменную

$$\lambda^1~>~0 \tag{4}$$

быть положительным. неравенство (4) необходимо для того, чтобы исключить нефизическую ветвь с отрицательным квадратным корнем. Обратите внимание, что неравенство. (4) следует, что соответствующее ограничение первого рода$\chi_1$технически говоря, не обеспечивается дельта-распределением Дирака в интеграле по путям.

IV) С другой стороны, плотность лагранжиана Полякова (П) де Дондер-Вейля (DDW) имеет вид

$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{\gamma_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-\gamma}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2, \end{align}\tag{5}$$

где мы ввели метрику мирового листа (WS)$\gamma_{\alpha\beta}$и полиимпульс$P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$. См. также, например, мой ответ Phys.SE здесь .

V) Во втором равенстве уравнения. (5) мы определили две вспомогательные переменные,$\lambda^0$а также$\lambda^1$, следующим образом:

$$\begin{align} \lambda^0~=~&\frac{\gamma_{\tau\sigma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{\gamma^{\tau\sigma}}{\gamma^{\tau\tau}}, \cr \lambda^1~=~&\frac{\sqrt{-\gamma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-\gamma}\gamma^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad\gamma~:=~\det\left(\gamma_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1\gamma_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \end{align} \tag{6}$$

Знак переменной$\lambda^1$должно быть положительным, чтобы кинетический член в плотности лагранжиана Полякова был положительно определенным. Смотрите также мой ответ Phys.SE здесь для более подробной информации.

Обратите внимание на три компонента метрики WS.$\gamma_{\tau\tau}$,$\gamma_{\tau\sigma}$, а также$\gamma_{\sigma\sigma}$введите плотность лагранжиана Полякова Де Дондера-Вейля (5) только через две комбинации$\lambda^0$а также$\lambda^1$! (Этот изящный факт связан с симметрией Вейля .)

VI) Для достижения плотности лагранжиана гамильтониана Полякова${\cal L}_{P,H}$из плотности лагранжиана Полякова де Дондера-Вейля (5), мы должны оставить импульс переменным$P^{\tau}\equiv P$, и интегрируем вспомогательную переменную$P^{\sigma}$. Оказывается, плотность гамильтониана Полякова в лагранжиане становится в точности плотностью гамильтониана лагранжиана Намбу-Гото (1)! Обратите внимание, что этот вывод вне оболочки сильнее, чем обычное утверждение о том, что струна Полякова и струна Намбу-Гото имеют одни и те же классические EOM на оболочке!

В целом, единственное оставшееся различие заключается в третьей степени свободы метрики WS, которая соответствует симметрии Вейля и чей вклад интеграла по путям наивно факторизуется и, следовательно, разделяется. Более тщательный анализ выявляет проблемы регуляризации как струны Полякова, так и струны Намбу-Гото, что потенциально приводит к конформной аномалии . Известно, что в плоском целевом пространстве (TS) конформная аномалия исчезает только в критической размерности.$D=26$.

TL;DR: В заключение, поскольку плотность гамильтониана лагранжиана струны Намбу-Гото и струны Полякова идентична, то любая схема квантования интеграла по путям (которая согласуется с гамильтоновой формулировкой) также должна быть идентичной.

--