Откуда взялось правило Борна? [дубликат]

Насколько я читал в Интернете, нет хорошего объяснения правила рождения . Так ли это? Почему квадрат волновой функции дает вам вероятность? Естественно, он удаляет отрицательные и мнимые числа, но почему это квадрат, а не четвертая или какая-то высшая степень?

Это обсуждается в упражнениях 4 и 5 здесь , а также в этой статье . Также см. этот ответ и одобрительный комментарий к нему. И, наконец, см. этот ответ на связанный вопрос.
Это то же самое, что соотношение между амплитудой и энергией в эксперименте с двумя щелями.
Вы не должны думать о том, чтобы возвести его в квадрат, как о специальной операции. Для любой наблюдаемой в QM среднее значение определяется как <Ψ|A|Ψ> , где A — линейный оператор, соответствующий наблюдаемой. В случае положения оператором является R. Все, что делает R, — это возвращает ту же функцию, поэтому в итоге вы получаете <Ψ|Ψ>.
На мой похожий вопрос также было получено несколько интересных ответов: physics.stackexchange.com/q/54251/16660 .
IIRC Дэвид Дойч смог вывести это из многомировой интерпретации QM.
«Вывод» Дойча бессмысленен... Существует определение рационального поведения, согласно которому рациональным выбором является тот, который максимизирует вашу «ожидаемую полезность». Полезность результата — это выигрыш, который вы получаете от этого результата, а затем ожидаемая полезность выбора получается путем рассмотрения всех возможных результатов, которые могут возникнуть в результате выбора, и последующего присвоения каждому из них веса, который равен (полезность выбора). исход) x (вероятность исхода)...
Таким образом, теоретико-решенная модель рациональности строится на более простом понятии вероятности. Вывод Дойчем правила Борна состоит в том, чтобы начать с априорной модели того, как делать рациональный выбор в мультивселенной, а затем работать в обратном направлении, чтобы получить вероятности...
Другими словами, выбор X должен быть рациональным, «поэтому» релевантные исходы A, B и C должны иметь определенные физические вероятности. Даже не видя деталей аргумента, должно быть очевидно, что это ерунда...
Но никто не заботится о деталях этой «оксфордской школы MWI», кроме других философов, поэтому подробные опровержения остаются похороненными в малоизвестных документах, в то время как фанаты MWI могут говорить, что «Дойч вывел правило Борна», полагаясь только на слухи.

Ответы (3)

Предположим, вы хотите описать квантово-механическое поведение системы, построив с нуля волновое уравнение, которому она должна удовлетворять. Сначала рассмотрим дифракционную картину, полученную с двойной щелью при монохроматическом пучке света, и сравним ее с картиной при моноэнергетическом пучке электронов.

В оптике полная амплитуда Φ для двух когерентных световых лучей, падающих на плоскость, представляет собой сумму индивидуальных амплитуд, Φ "=" Φ 1 + Φ 2 "=" А 1 е я θ 1 + А 1 е я θ 2 и интенсивность я луча будет пропорциональна | Φ | 2 ,

я ∼ | Φ | 2 "=" А 1 2 + А 2 2 + 2 А 1 А 2 потому что ⁡ ( θ 1 − θ 2 )
которое реально и положительно, и на самом деле по определению я оно пропорционально количеству фотонов в каждой точке экрана.

Картина с пучком электронов полностью аналогична, поэтому вы можете определить сложную амплитуду ψ со свойствами

  1. Он может удовлетворять волновому уравнению .
  2. Плотность электронов р ( Икс ) пропорциональна | ψ | 2 "=" ψ * ψ в каждой точке.

Этим вы гарантируете, что плотность частиц будет положительной и что она может проявлять интерференцию посредством наложения амплитуд. Теперь обозначим А коэффициент пропорциональности в свойстве 2, то общее количество частиц Н дан кем-то

Н "=" ∫ р г Икс "=" А ∫ | ψ | 2 г Икс ⟹ ∫ | ψ | 2 г Икс "=" Н А
Теперь число Н в общем случае велика, неизвестна и знать ее не имеет значения, также, как видно, волновое уравнение однородно, так что ψ определяется с точностью до произвольной константы. Так принято принимать А "=" Н , т.е. взять | ψ | как нормированная функция,
∫ ψ * ψ г Икс "=" 1
Так что у вас есть это р "=" Н | ψ | 2 , то можно определить
р ~ ≡ р Н
как относительная плотность частиц, которая говорит вам, какая часть общего количества частиц содержится в элементе г Икс , отсюда тогда
∫ р ~ г Икс "=" 1
Итак, вот оно: предположим, вы проводите эксперимент только с одним электроном. Затем р ~ г Икс можно интерпретировать как вероятность того, что электрон содержится в элементе г Икс и ∫ р ~ г Икс "=" 1 говорит вам, что частица находится где-то в космосе со всей уверенностью.

Вот почему в целом, р ~ "=" ψ * ψ можно интерпретировать как плотность вероятности для локализации частиц, что, следовательно, подразумевает сохранение вероятности .

Разве Борн рассуждал так?

Для электромагнитной волны энергия пропорциональна квадрату электрического/магнитного поля (т.е. волны). Это классический результат, который можно вывести из уравнений Максвелла.

Когда фотоны были открыты, интенсивность фотонов или число фотонов, попадающих в определенное место (например, на экран за двойной щелью), оказалось пропорциональным квадрату этого поля. Однако теперь ему была дана вероятностная интерпретация: интенсивность света — это вероятность попадания фотона в это место.

Расширение до «электронных волн», конечно, является дикой догадкой, которая затем подтвердилась.

Расширение до «электронных волн», конечно, является дикой догадкой, которая затем подтвердилась. Я бы сказал, что распространение на электроны следует из того факта, что электроны соединяются с электромагнитными волнами: physics.stackexchange.com/a/73388/4552
Поскольку правило Борна должно выполняться для электромагнитной «волновой функции», а электромагнитные волны могут взаимодействовать с материей, оно, очевидно, должно выполняться и для материальных частиц, иначе у нас не было бы последовательного представления о вероятности того, что фотон находится" в определенном месте, и вероятность того, что фотон будет обнаружен в этом месте детектором материала. Не могли бы вы объяснить это более подробно?
Было бы разумнее обсудить это в комментариях к моему ответу, а не к вашему?
Да. Я перепостил комментарий к вашему ответу.

«Квадрат» следует из уравнения Шредингера в постановке задачи рассеяния. Для заданного потока падающих частиц Дж это дает количество рассеянных частиц в секунду на единицу телесного угла г 2 Н г т г Ом ∝ Дж , и, таким образом, для одной частицы это вероятность в секунду на единицу телесного угла.

Это круговое рассуждение. Обоснование правила Борна должно объяснить, почему квадрат появляется в решении задачи рассеяния.
@BenCrowell Это не совсем круг. Я думаю, так оправдывал это сам Борн. Вы должны помнить, что уравнение Шрёдингера появилось раньше правила Борна; люди знали, что собственные значения уравнения дают правильные уровни энергии водорода, но понятия не имели, что означают сами волновые функции. Борн решил уравнение Шредингера для задач рассеяния, используя теорию возмущений, и заметил, что | ψ | 2 соответствует классической амплитуде рассеяния. Так что это действительно самый правильный ответ, по крайней мере исторически.
Интересно отметить, что классическая амплитуда рассеяния ТОЧНО согласуется с теорией возмущений первого порядка в квантовой механике. Это удачное совпадение, поскольку именно оно позволило Борну вывести правило Борна.
Также для продвижения вероятностной интерпретации очень важен экспериментальный факт квантования заряда (мы наблюдаем сразу один электрон). Другими словами, при потоках малой интенсивности интенсивность квантуется. Таким образом, для квантованной сущности мы используем вероятность быть наблюдаемой.
@JahanClaes Может быть, у вас есть ссылка на источник, которая подробно описывает/описывает это?
@chevestong тот факт, что приближение Борна дает классическое решение для кулоновского потенциала, обычно отмечается везде, где обсуждается эта проблема, см., например, atlas.physics.arizona.edu/~shupe/Indep_Studies_2015/…
@chewestong тот факт, что это привело к тому, что Борн интерпретировал квадрат волновой функции как вероятность, можно отметить по тому факту, что Борн предложил правило Борна в той же статье, в которой он решил задачу кулоновского рассеяния до первого порядка.
Откуда взялось правило Борна? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v