Нормализация квантовых состояний: зачем?

Нет особой причины нормализовать квантовое состояние, если вы просто определяете, скажем, математическое ожидание некоторого наблюдаемого состояния.$A$, как

$$\langle A \rangle := \frac{\left\langle \psi | A \psi \right\rangle}{\left\langle \psi | \psi \right\rangle}.$$

Это действительно часто делается. Это просто упрощение и, следовательно, разумное соглашение установить$\langle \psi | \psi \rangle = 1$.

Кроме того, уравнение Шредингера линейно по переменной$\psi$, так что если мы возьмем в качестве начального значения$c \times \psi$, с$c \in \mathbb{C}$, решение также будет просто умножено на$c$и ничего физически не меняется.

Чтобы сказать что-то о нелинейных уравнениях, таких как уравнение Гросса-Питаевского, правильно, что вам пришлось бы скорректировать член взаимодействия в этом уравнении на коэффициент$1/c$заботиться о различной нормализации.

У вас есть примеры, в которых ненормированные состояния порождают парадоксальные ситуации, за исключением вероятностей больше единицы?

Я не знаю, но, возможно, следующее поможет.

Если$\psi$не нормализуется, а нормализуется, проблемы на самом деле нет - все функционалы$\psi$можно изменить, чтобы учесть отсутствие нормализации - просто нормализуйте в функциональной формуле.

Однако, если$\psi$не нормализуется для некоторого региона$\Omega$, значит нельзя использовать правило Борна

$$\frac{\int_{x\in \omega} |\psi(x) |^2 dx}{\int_{x\in\Omega} |\psi(x)|^2dx} = \text{probability particle is in }\omega,$$ потому что интеграл в знаменателе не существует или бесконечен, поэтому нужно либо принять какой-то другой смысл для$\psi$, или кто-то решает такое$\psi$недопустимо, поскольку используется значение Борна. Например, если$\Omega$это все бесконечное пространство,

$$\psi(x) = e^{ipx/\hbar}$$ не нормализуется, поэтому оно неприменимо в качестве борновского описания системы в этом пространстве. Однако если мы выберем$\Omega$быть конечным объемом, скажем, коробкой, указанная выше пси-функция становится нормируемой и допустимой. Таким образом, нормализуемость зависит не только от области конфигурационного пространства, но и от самой функции.

С другой стороны, если у нас есть что-то вроде дельта-распределения Дирака

$$\psi(x) = \delta(x-x_0)$$ это вообще не нормализуется в смысле правила Борна. Его можно использовать в качестве начального условия для Шр. уравнение, но полученное решение$G(x,t)$не является реалистичной пси-функцией для всего бесконечного пространства. У него есть и другие применения - это функция Грина датчика Schr. уравнение для всего бесконечного пространства.

Рассмотрим классическую задачу рассеяния: вы проецируете, скажем, N частиц в секунду на цель и подсчитываете количество частиц, рассеянных под телесным углом.$d\Omega$:$dN\propto N$поэтому соотношение$dN/N$всегда меньше 1. Приведенная к одной частице, вероятность того, что она рассеется на$d\Omega$.

Теперь в КМ наблюдаются суперпозиции состояний рассеянных частиц. Отсюда следует линейность их уравнения, своего рода волновое уравнение. Решение волнового уравнения необходимо нормировать, чтобы получить значение расчетного$dN$без двусмысленности. Остальное аналогично классическому случаю: для одной частицы у вас есть соответствующая вероятность, но уравнение движения должно допускать суперпозицию амплитуд (решений).

В-третьих, нам всегда нужно много частиц, чтобы иметь надежную статистику и определенные суждения, поэтому на самом деле мы считаем количество частиц (в секунду или общее количество, что угодно). Таким образом, вероятность — это только часть всей картины, которая подразумевает участие многих-многих частиц, чтобы покрыть все углы волнообразной картины. Ни в классической, ни в квантовой физике одночастичного «эксперимента» недостаточно.