Происхождение вероятностей в квантовой механике?

Question

Происхождение вероятностей в квантовой механике?

Джон Истмонд

Ненормализованная волновая функция обычного кубита определяется выражением:

| ψ ⟩ "=" А | 0 ⟩ + Б | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle=A|0\rangle+B|1\rangle.$ Комплексные амплитуды

A

$A$ и

B

$B$ может быть представлен двумя стрелками на комплексной плоскости:

Теперь волновую функцию можно умножить на любое комплексное число. $R$ без изменения физики. Это приведет к тому, что стрелки $A$ и $B$ вращаться и сжиматься/расширяться вместе с фиксированным углом между ними.

Следовательно, два набора точек будут отображены в виде окружности с площадью $|A|^2$ и круг с площадью $|B|^2$ . Они представляют наборы возможных значений амплитуд $A$ и $B$ .

Таким образом, если мы запутаемся с кубитом, то вероятность оказаться в множестве $A$ (измерение $0$ ) или установить $B$ (измерение $1$ ) даются:

п (0) "=" \frac{| А |^{2}}{| А |^{2} + | Б |^{2}}

$P(0)=\frac{|A|^2}{|A|^2+|B|^2}$

п (1) "=" \frac{| Б |^{2}}{| А |^{2} + | Б |^{2}} .

$P(1)=\frac{|B|^2}{|A|^2+|B|^2}.$

Помогает ли эта картинка понять происхождение вероятностей в квантовой механике?

Коррекция

Позволять

А "=" р_{А} е^{я θ_{А}}

$A=R_Ae^{i\theta_A}$

Б "=" р_{Б} е^{я θ_{Б}}

$B=R_Be^{i\theta_B}$ Общая нормализованная волновая функция определяется выражением:

| ψ ⟩ "=" \frac{1}{(р_{А}^{2} + р_{Б}^{2})^{1 / 2}} [р_{А} е^{я θ_{А}} + р_{Б} е^{я θ_{Б}}]

$|\psi\rangle=\frac{1}{(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[R_Ae^{i\theta_A}+R_Be^{i\theta_B}\large]$ Предположим, что я умножаю амплитуды

A

$A$ и

B

$B$ к

С "=" р е^{я θ}

$C=Re^{i\theta}$ Тогда нормированная волновая функция становится

| ψ ⟩ "=" \frac{1}{р (р_{А}^{2} + р_{Б}^{2})^{1 / 2}} [р р_{А} е^{я (θ_{А} + θ)} + р р_{Б} е^{я (θ_{Б} + θ)}]

$|\psi\rangle=\frac{1}{R(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[RR_Ae^{i(\theta_A+\theta)}+RR_Be^{i(\theta_B+\theta)}\large]$

| ψ ⟩ "=" \frac{е^{я θ}}{(р_{А}^{2} + р_{Б}^{2})^{1 / 2}} [р_{А} е^{я θ_{А}} + р_{Б} е^{я θ_{Б}}]

$|\psi\rangle=\frac{e^{i\theta}}{(R_A^2+R_B^2)^{1/2}}\large[R_Ae^{i\theta_A}+R_Be^{i\theta_B}\large]$ Кажется, что единственная степень свободы - фазовый угол

θ

$\theta$ а не область, как я утверждал выше.

Андрей

Почему мы должны связывать площадь нарисованных вами кругов с вероятностью измерения кубита, чтобы иметь ценность?

0

$0$ или

1

$1$ ?

Джон Истмонд

Каждый круг

A

$A$ или

B

$B$ представляет наборы значений для амплитуд

A

$A$ или

B

$B$ .

Андрей

Да, но почему площади этих наборов должны быть связаны с вероятностью измерения кубитов, чтобы иметь значение 0 или 1?

Андрей

Кроме того, как бы вы обобщили этот аргумент на систему из 2 запутанных кубитов, где состояния живут в 4 измерениях? Ваша логика привела бы вас к рассмотрению объемов четырехмерных сфер, и в этом случае вероятности масштабировались бы с четвертой степенью амплитуды.

Джон Истмонд

Ну, вы просто оказываетесь в одном наборе или в другом, когда вы запутываетесь с любым из них.

| 0 ⟩

$|0\rangle$ или

| 1 ⟩

$|1\rangle$ . Ваша волновая функция должна иметь некоторую общую фазу. Есть

| A |^{2}

$|A|^2$ фазы, связанные с

| 0 ⟩

$|0\rangle$ и

| B |^{2}

$|B|^2$ фазы, связанные с

| 1 ⟩

$|1\rangle$ .

Джон Истмонд

Если у вас есть

n

$n$ -мерная волновая функция, то у вас есть

n

$n$ круги на комплексной плоскости.

Андрей

ОК, я соглашусь, что вы можете обобщить это на

n

$n$ размеры. Но я все еще не очень понимаю ваш аргумент. Вы не можете сказать, что «государство

| A |^{2}

$|A|^2$ фазы, связанные с

| 0 ⟩

$|0\rangle$ и

| B |^{2}

$|B|^2$ фазы, связанные с

| 1 ⟩

$|1\rangle$ ." Существует одна общая фаза, которую вы можете применить ко всему состоянию, например

θ

$\theta$ в выражении

| Ψ ⟩ = e^{i θ} (A | 0 ⟩ + B | 1 ⟩)

$|\Psi\rangle = e^{i\theta}(A|0\rangle + B|1\rangle)$ . Таким образом, вы не можете представить государство в виде двух независимых кругов на комплексной плоскости. (Кстати, я не проголосовал против, я думаю, что вопрос в порядке, но ответ в том, что это предложение не объясняет вероятности)

Джон Истмонд

Как я понимаю, я могу нормализовать

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ либо предварительно выбрав

A

$A$ или сначала выбрав

B

$B$ . Есть круглая площадь

A

$A$ s, которые я могу выбрать, или ценность круглой области

B

$B$ с. Эти площади дают веса для получения собственных значений

0

$0$ или

1

$1$ соответственно. Возможно, этот аргумент работает только с дискретной сеткой значений амплитуды.

Андрей

если вы хотите, чтобы ваше состояние было нормализовано стандартным способом,

⟨ ψ | ψ ⟩ = 1

$\langle \psi | \psi \rangle =1$ , то у вас есть один угол (не площадь), который вы можете выбрать для

A

$A$ . Как только вы выберете этот угол, то

B

$B$ полностью фиксируется . Если вы хотите выбрать общую нормализацию по-другому, то это не столько «площадь круга», вы можете выбрать угол и нормализацию произвольно, так что это больше похоже на бесконечную площадь, для

A

$A$ . Но (при таком способе ведения дел) как только вы решите, что делать с

A

$A$ , у вас не осталось никакой свободы для

B

$B$ . Так что я до сих пор не понимаю аргумент.

Джон Истмонд

На самом деле вы правы, можно выбрать только угол, а не площадь.

Ответы (1)

Происхождение вероятностей в квантовой механике?

Почему мы должны связывать площадь нарисованных вами кругов с вероятностью измерения кубита, чтобы иметь ценность? $0$ или $1$ ?
Каждый круг $A$ или $B$ представляет наборы значений для амплитуд $A$ или $B$ .
Да, но почему площади этих наборов должны быть связаны с вероятностью измерения кубитов, чтобы иметь значение 0 или 1?
Кроме того, как бы вы обобщили этот аргумент на систему из 2 запутанных кубитов, где состояния живут в 4 измерениях? Ваша логика привела бы вас к рассмотрению объемов четырехмерных сфер, и в этом случае вероятности масштабировались бы с четвертой степенью амплитуды.
Ну, вы просто оказываетесь в одном наборе или в другом, когда вы запутываетесь с любым из них. $|0\rangle$ или $|1\rangle$ . Ваша волновая функция должна иметь некоторую общую фазу. Есть $|A|^2$ фазы, связанные с $|0\rangle$ и $|B|^2$ фазы, связанные с $|1\rangle$ .
Если у вас есть $n$ -мерная волновая функция, то у вас есть $n$ круги на комплексной плоскости.
ОК, я соглашусь, что вы можете обобщить это на $n$ размеры. Но я все еще не очень понимаю ваш аргумент. Вы не можете сказать, что «государство $|A|^2$ фазы, связанные с $|0\rangle$ и $|B|^2$ фазы, связанные с $|1\rangle$ ." Существует одна общая фаза, которую вы можете применить ко всему состоянию, например $\theta$ в выражении $|\Psi\rangle = e^{i\theta}(A|0\rangle + B|1\rangle)$ . Таким образом, вы не можете представить государство в виде двух независимых кругов на комплексной плоскости. (Кстати, я не проголосовал против, я думаю, что вопрос в порядке, но ответ в том, что это предложение не объясняет вероятности)
Как я понимаю, я могу нормализовать $|\Psi\rangle$ либо предварительно выбрав $A$ или сначала выбрав $B$ . Есть круглая площадь $A$ s, которые я могу выбрать, или ценность круглой области $B$ с. Эти площади дают веса для получения собственных значений $0$ или $1$ соответственно. Возможно, этот аргумент работает только с дискретной сеткой значений амплитуды.
если вы хотите, чтобы ваше состояние было нормализовано стандартным способом, $\langle \psi | \psi \rangle =1$ , то у вас есть один угол (не площадь), который вы можете выбрать для $A$ . Как только вы выберете этот угол, то $B$ полностью фиксируется . Если вы хотите выбрать общую нормализацию по-другому, то это не столько «площадь круга», вы можете выбрать угол и нормализацию произвольно, так что это больше похоже на бесконечную площадь, для $A$ . Но (при таком способе ведения дел) как только вы решите, что делать с $A$ , у вас не осталось никакой свободы для $B$ . Так что я до сих пор не понимаю аргумент.
На самом деле вы правы, можно выбрать только угол, а не площадь.

CR Дрост · Answer 1

Так что эта картинка — способ понять квантовую механику, и на самом деле это способ, который Фейнман использовал, чтобы объяснить ее нетехническим людям, что вы можете увидеть в его лекциях в Новой Зеландии, которые были записаны на видео, и они стали книгой QED: The Странная теория света и материи .

Однако это не проливает много света на происхождение амплитуд, поскольку это всего лишь аксиома того, как работает теория. Как будто у вас все еще есть абстрактный воображаемый круг, и нет реальной причины связывать его площадь с какой-либо вероятностью, и вы не мотивировали, как эти разные амплитуды могут быть сложены или умножены в этом объяснении.

Просто чтобы показать вам, как может выглядеть более общий аргумент, статья Скотта Ааронсона «Является ли квантовая механика островом в теоретическом пространстве?» утверждает, что есть только две возможности, две вероятностные теории, одна без отрицательных вероятностей, которую мы называем классической вероятностью, и одна с деструктивной интерференцией, которую мы называем квантовой механикой, так что, если вы считаете само собой разумеющимся, что квантовые системы должны иметь деструктивную интерференцию и результаты определенных квантовых экспериментов не могут быть известны заранее (см. Использование последнего в квантовой криптографии), то единственные способы описания этого должны использовать комплексные числа в качестве амплитуд.

Вроде того. Это не обязательно должен быть именно такой аргумент, но он должен иметь такой размашистый характер. Так, например, другой аргумент мог бы взять в качестве отправной точки исчисление 2-спиноров, лежащее в основе специальной теории относительности, и, возможно, амплитуды — это единственное, что «хорошо сочетается» с этими 2-спинорами, что-то, что, возможно, связывает КМ с другими явлениями в мире. . Но это никогда не будет таким простым, как «просто посмотрите на эти круги», потому что вы нарисовали эти круги в воображаемой математической идеализированной вселенной, и проблема физики заключается в том, как мы моделируем вещи в нашей вселенной с вещами в такой математической идеализации. , поэтому всегда есть шаг перевода. Так что объяснение должно начинаться с вещей в нашей вселенной, если это имеет смысл,

Хорошо, но я только пытался понять происхождение вероятностей, а не происхождение самих комплексных амплитуд. Я пытаюсь вывести правило Борна.

Происхождение вероятностей в квантовой механике?

Джон Истмонд

Андрей

Джон Истмонд

Андрей

Андрей

Джон Истмонд

Джон Истмонд

Андрей

Джон Истмонд

Андрей

Джон Истмонд

Ответы (1)

CR Дрост

Джон Истмонд

Что такое волновая функция простым языком?

Нормализация квантовых состояний: зачем?

Интуитивное понимание волновой функции

Что такое правило Макса Борна?

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Считается ли обычно правило Борна аксиомой квантовой механики?

Есть ли математическая основа правила Борна?

Одинаковые частицы, кажется, уменьшают вероятность

Есть ли какой-нибудь оператор за вероятностью в квантовой механике?