Мера вероятности подразумевает квантовую механику?

Существует гильбертово пространство H (вероятно, размерности 3 или больше, как в теореме Глисона?), снабженное некоторым логическим аппаратом (решеткой L?).

Правильно, и решетка$L(H)$это пространство ортогональных проекторов/замкнутых подпространств сепарабельного комплексного гильбертова пространства$H$. Как частично упорядоченный набор, частичный порядок$P\leq Q$отношение есть включение подпространств:$P(H) \subset Q(H)$.

Как следствие$P \vee Q := \sup\{P,Q\}$является проектором на замыкание суммы$P(H)$а также$Q(H)$а также$P\wedge Q := \inf\{P,Q\}$есть проектор на пересечение указанных замкнутых подпространств.

Эта решетка оказывается ортомодулярной, ограниченной, атомарной, удовлетворяющей закону накрытия, сепарабельной, ($\sigma$-)полный.

Вам также не нужно предполагать, что решетка элементарных утверждений квантовой системы$L(H)$с нуля, но вы можете доказать это, предполагая некоторые общие гипотезы (те, которые я написал выше вместе с несколькими дополнительными техническими требованиями). Однако в конечном итоге вы обнаружите, что гильбертово пространство может быть реальным, комплексным или кватернионным. Этот результат был получен Солером в 1995 году.

У нас есть вероятностная мера, удовлетворяющая аксиомам Колмогорова (включая счетную аддитивность, но без коннотаций булевой логики).

Правильный. Решетка является (ортодополняемой и) ортомодулярной ($A= B \vee (A \wedge B^\perp)$если$B\leq A$) вместо (ортодополняемого и) логического ($\vee$а также$\wedge$являются взаимно распределительными).

Однако история намного длиннее. Элементы$L(H)$интерпретируются как элементарные предложения/наблюдаемые квантовой системы, допускающие только результаты ДА и НЕ при измерении.

В ортомодулярной решетке два элемента$P,Q$называются коммутирующими , если наименьшая подрешетка, включающая их обе, булева.

Можно доказать, что для решетки ортогональных проекторов$L(H)$, пара элементов$P$а также$Q$коммутируют тогда и только тогда, когда они коммутируют как операторы :$PQ=QP$.

Апостериорно это согласуется с идеей, что эти элементарные наблюдаемые могут быть измерены одновременно.

Если$P$а также$Q$в$L(H)$ехать, оказывается

$$P\wedge Q = PQ =QP\tag{*}$$ а также $$P\vee Q = P+Q-PQ\:.\tag{**}$$

Важным моментом является следующий. Наличие булевой подрешетки (т.е. состоящей из взаимно коммутирующих элементов)$\vee$а также$\wedge$могут быть снабжены стандартным логическим значением ИЛИ и И соответственно. Ортогональный$P^\perp = I-P$соответствует отрицанию НЕ$P$.

Это способ частично восстановить классическую логику из квантовой логики.

Должны ли мы также принять некоторую форму закона больших чисел?

На самом деле, по крайней мере, когда вы проводите измерения наблюдаемых, вы всегда сводитесь к булевой подалгебре, где вероятностная мера становится стандартной.$\sigma$-аддитивная мера$\sigma$-алгебра и здесь можно предположить стандартные результаты о соотношении вероятностей - частот.

Является ли следующее что-то вроде правильного списка результатов?

Вероятностная мера может быть описана матрицей плотности (теорема Глисона).

Да, если гильбертово пространство сепарабельно с размерностью$\neq 2$.

В частности, экстремальные элементы выпуклого множества вероятностных мер Глисона (вероятностных мер, неразложимых в нетривиальные выпуклые комминации) оказываются имеющими вид$|\psi\rangle \langle \psi|$для всех возможных$\psi\in H$с единичной нормой. Таким образом, экстремальные меры совпадают с чистыми состояниями , т. е. единичными векторами с точностью до фаз.

Наблюдаемые должны быть представлены самосопряженными операторами.

Да, это легко доказать, если начать с предположения, что наблюдаемая$A$это коллекция$\{P^{(A)}(E)\}_{E \in B(\mathbb R)}$элементов решетки$L(H)$, то есть проекторы$P(E)$куда$E\subset \mathbb R$любое реальное борелевское множество.

Физический смысл$P^{(A)}(E)$является «результатом измерения$A$лежит (или есть)$E$".

Очевидно$P^{(A)}(E)$а также$P^{(A)}(E')$коммутируют и придают стандартное значение$\wedge$(= И), из (*) имеем, что

$$P^{(A)}(E) P^{(A)}(F) = P^{(A)}(E)\wedge P^{(A)}(F) = P^{(A)}(E\cap F)\:.\tag{1}$$

Используя полноту, нетрудно обосновать и свойство

$$\vee_i P^{(A)}(E_i) = P^{(A)}(\cup_i E_i)$$ где$E_i$и конечный или счетный класс борелевских множеств, попарно не пересекающихся. Это требование, в частности с использованием (**), математически эквивалентно $$\sum_i P^{(A)}(E_i) = P^{(A)}(\cup_i E_i)\tag{2}$$ где$E_i$и конечный или счетный класс борелевских множеств попарно не пересекаются, и сумма вычисляется в сильной операторной топологии.

Наконец, поскольку некоторый результат должен быть измерен в$\mathbb R$, делаем вывод, что

$$P^{(A)}(\mathbb R)=I\tag{3}\:,$$ потому что банальный проектор$I \in L(H)$удовлетворяет$\mu(I)=1$для каждого состояния Глисона.

Свойства (1), (2) и (3) говорят, что$\{P^{(A)}(E)\}_{E \in B(\mathbb R)}$является проекционнозначной мерой (PVM), так что самосопряженный оператор

$$A = \int_{\mathbb R} \lambda P^{(A)}(\lambda)$$ существуют.

Спектральная теорема доказывает, что соответствие между наблюдаемыми и самосопряженными операторами взаимно однозначно.

Учитывая чистое состояние, представленное единичным вектором до фаз$\psi$и ПВМ$\{P^{(A)}(E)\}_{E\in B(\mathbb R)}$описывающий наблюдаемый/самосопряженный оператор$A$, карта

$$B({\mathbb R}) \ni E \mapsto \mu^{(A)}_\psi(E) := tr(|\psi\rangle \langle \psi| P^{(A)}(E)) = \langle \psi|P^{(A)}(E) \psi\rangle$$ является стандартной вероятностной мерой$\sigma(A)$, а стандартные результаты КМ возникают так ($\psi$предполагается, что он принадлежит домену$A$) $$\langle \psi |A \psi \rangle = \int_{\sigma(A)}\lambda d\mu^{(A)}(\lambda)\:,$$ оправдывая интерпретацию левой части как ожидаемое значение$A$в государстве, представленном$\psi$, и так далее.

Также оказывается, что носитель ФВМ совпадает со спектром$\sigma(A)$связанной наблюдаемой.

Элементы$P$из$L(H)$являются самосопряженными операторами, и поэтому картина непротиворечива:$P$— элементарная наблюдаемая, допускающая только два значения$0$(НЕ) и$1$(ДА). Фактически$\{0,1\} = \sigma(P)$если не рассматривать два тривиальных случая (противоречие)$P=0$куда$\sigma(P)= \{0\}$а также$P=I$(тавтология), где$\sigma(P)= \{1\}$.

Эволюция времени должна быть унитарной.

Здесь необходимо ввести понятие симметрии и непрерывной симметрии .

Есть по крайней мере 3 возможности, которые эквивалентны на$L(H)$, одна из них — известная теорема Вигнера . Однако наиболее естественным в этой картине является вариант, принадлежащий Кадисону (один из двух возможных вариантов): симметрия может быть определена как изоморфизм решетки$L(H)$,$h: L(H) \to L(H)$.

Оказывается, что (теорема Кадисона) все изоморфизмы имеют вид

$$L(H)\ni P \to h(P) = UPU^{-1}$$ для некоторого унитарного или антиунитарного оператора$U$, определенных с точностью до фазы, и в зависимости от изоморфизма$h$.

Временная однородность означает, что нет предпочтительного начала времени и все моменты времени физически эквивалентны.

Итак, при наличии однородности времени должна существовать связь между физикой во времени$0$и физика в то время$t$сохранение физических структур. Форма эволюции времени$0$к$t$поэтому должно быть реализовано с помощью изоморфизма$h_t$из$L(H)$.

Поскольку начала времени не существует, также естественно предположить, что$h_t\circ h_s = h_{t+s}$.

Поэтому естественно предположить, что при наличии временной однородности эволюция во времени представляется однопараметрической группой таких автоморфизмов${\mathbb R} \ni t \mapsto h_t$. (Однопараметрическая группа означает$h_t\circ h_s = h_{t+s}$а также$h_0= id$.)

Также естественно принять гипотезу непрерывности, связанную с возможными измерениями и состояниями:

$${\mathbb R} \ni t \mapsto \mu(h_t(P))$$

непрерывен для каждого$P\in L(H)$и каждое состояние Глисона$\mu$.

Обратите внимание, что теорема Кадисона связывает унитарное$U_t$каждому$h_t$ до фаз , так что нет никаких оснований, априори , иметь$U_tU_s = U_{t+s}$, так как фазы, зависящие от$s$а также$t$может появиться.

Даже если кто-то настолько умен, чтобы зафиксировать фазы, чтобы доказать правило композиции однопараметрической группы унитарных операторов $U_tU_s = U_{t+s}$а также$U_0=I$, нет априорной причины находить непрерывное отображение$t \mapsto U_t$в некоторой естественной операторной топологии.

Фактически при указанных гипотезах о$\{h_t\}_{t\in \mathbb R}$, можно доказать, что (самый простой пример применения теоремы Баргмана, поскольку вторая когомольная группа$\mathbb R$тривиально) фазы в соответствии$h_t \to U_t$с помощью теоремы Кадисона можно однозначно согласовать, чтобы$h_t(P) = U_t P U_t^{-1}$куда

$$\mathbb R \ni t \mapsto U_t$$ является сильно непрерывной однопараметрической группой унитарных операторов.

Из теоремы Стоуна сразу следует, что$U_t = e^{-itH}$для некоторого самосопряженного оператора$H$(определяется с точностью до аддитивной константы ввиду произвольности фазы$U_t$).

Эта процедура распространена на другие однопараметрические группы унитарных операторов.$e^{-isA}$описание непрерывных симметрий приводит к известной квантовой версии теоремы Нётер. Непрерывная симметрия сохраняет эволюцию во времени, т. е.

$$e^{-isA} e^{-itH}= e^{-itH}e^{-isA}$$ для всех$t,s \in \mathbb R$, тогда и только тогда, когда наблюдаемая$A$порождающая непрерывную симметрию есть константа движения: $$e^{itH}Ae^{-itH}=A\:.$$

Возможно, стоит указать , что

Каноническим примером являются решетки Гильберта, которые интерпретируют квантовую логику Биркгофа-фон Неймана.

но также

Позже было предложено ... что лучший способ думать о квантовых решетках BvN - это предложения линейной логики , категориальной логики симметричных моноидальных категорий.

Линейная логика — это логика ресурсов. А также

Есть также предложение... что квантовую логику следует понимать как внутреннюю логику топосов Бора.

Это _

топос, связанный с любой квантово-механической системой, который таков, что наблюдаемые и состояния физической системы более или менее естественным образом закодированы во внутренней логике топоса.