Есть ли правдоподобная причина существования сопряженных переменных в квантовой механике?

(Я обновил вопрос, новый последний отрывок важен)

Если я предполагаю, что положение частицы представляется оператором Икс ^ , а временная эволюция должна выполняться унитарным преобразованием, порожденным оператором ЧАС ^ (называемый «гамильтонианом», то у меня нет никакого представления о том, что должно быть что-то вроде «оператора импульса».

Теперь я пытаюсь придумать аргумент правдоподобия, что должен существовать другой, столь же фундаментальный оператор, который мы называем импульсом и который будет вносить вклад в любую наблюдаемую, которую мы можем определить как функцию операторов, особенно ЧАС ^ , в том же смысле, что и в классической механике, мы естественным образом видим, что состояние системы не описывается элементом конфигурационного пространства д , а вместо этого элементом фазового пространства ( д , п ) .

Объяснение, которое я придумал, следующее, и я хочу знать, хороший это аргумент правдоподобия или плохой: гамильтониан ЧАС ^ должен быть произвольным оператором, действующим в гильбертовом пространстве, состоящим из всех невырожденных собственных состояний позиционного оператора. Моя идея состоит в том, что этот наиболее общий оператор ЧАС ^ может быть представлен только полиномом, содержащим Икс ^ И п ^ с [ Икс ^ , п ^ ] "=" я ℏ .

Если я посмотрю на позиционное представление гильбертова пространства, то гильбертово пространство станет пространством всех функций, интегрируемых с квадратом, над областью значений действительных чисел, и наиболее общее линейное отображение, действующее на эти функции ф ( Икс ) будет комбинацией производных г г Икс (это был бы оператор импульса) и умножения с Икс (это был бы оператор положения).

Верно ли это рассуждение вообще? Если каноническая коммутация [ Икс ^ , п ^ ] "=" я ℏ соотношение, означает ли это, что я могу представить любой эрмитов оператор полиномом от Икс ^ и п ^ ?

Если нет, то есть ли другая причина, по которой должен существовать наблюдаемый импульс, называемый импульсом, со свойствами, которые мы привыкли иметь к импульсу, и это способствует генератору переводов времени? ЧАС ^ в смысле ЧАС ^ "=" час ( Икс ^ , п ^ ) ? Я знаю, что нам нужен импульс, чтобы воспроизвести классический предел теории, но это не тот путь рассуждений, которому я хочу следовать. Я хочу аргументировать с "другой стороны".

** ** Я думаю, что могу переформулировать вопрос следующим образом, чтобы было понятнее, что я хочу спросить: зачем нам нужна сопряженная переменная для каждой наблюдаемой, которую мы рассматриваем? В классической механике у нас изначально остается обобщенная координата д . Позже мы добавим канонический импульс п , потому что тогда движение может быть описано в фазовом пространстве, которое является симплектическим многообразием, очень элегантным способом, где каждая возможная наблюдаемая функция является функцией на указанном фазовом пространстве.

В квантовой механике я не вижу подобного рассуждения. У нас есть постулаты гильбертова пространства, операторов и развития унитарного времени, но импульс как оператор и каноническое коммутационное соотношение введены только для имитации классической механики. Нет никаких аргументов в пользу структуры пространства наблюдаемых, как в случае с классической механикой. Есть ли в квантовой механике обоснование правдоподобия сопряженной переменной, аналогичное рассуждению (симплектическое многообразие, изящная трактовка динамики) в классической механике?

Что верно, так это то, что каждый самосопряженный оператор, также неограниченный, определенный в плотной области в л 2 ( р 3 ) является сильным пределом полиномов спектральных мер трехпозиционного и трехимпульсного операторов. Некоторые из этих операторов на самом деле являются (замыканиями) полиномами этих операторов напрямую.
Однако существование оператора импульса возникает по другому поводу. По очевидным физическим причинам предполагается, что нерелятивистская частица поддерживает (строго непрерывное унитарное) представление (центральное расширение) группы Галилея, действующей в пространстве состояний. В частности, подгруппа пространственных трансляций действует на состояния через унитарные операторы. Эти виды представлений генерируются (являются экспоненциальными) наблюдаемыми с учетом общих теорем. Пространственные переводы генерируются операторами импульса по определению.
@ValterMoretti, чтобы, возможно, перефразировать мой вопрос, я вижу, что я не очень хорошо выразился: вопрос не в том, почему должен быть оператор импульса, а в том, почему он должен появляться в гамильтониане и, следовательно, временная эволюция Икс ^ автоматически всегда быть в паре с временной эволюцией п ^ .
Я не уверен, что хорошо понял ваш вопрос, и я думаю, что заголовок вашего вопроса вводит в заблуждение. Однако, как только мы ввели оператор импульса, как я писал, из теории представлений групп Галилея, оказывается, что ЧАС − п 2 / 2 м является функцией Икс только. Где ЧАС (на самом деле утверждение требует дополнительных деталей) является генератором смещения времени. Естественно классифицировать квантовые системы посредством этого различия...
@Quantumwhisp: вам нужно отредактировать свой вопрос, чтобы отразить фактический вопрос, как вы перефразировали его в своем комментарии. В противном случае тот, кто дает ответ, может не ответить на вопрос, который вы действительно хотели задать.
@flippiefanus Я знаю, у меня просто не было времени до сих пор. Я отредактировал вопрос.
Ответ на ваш вопрос «в основном да» с несколькими оговорками, которые привлекают экспертов, но, похоже, не помогают вам. Данный Икс ^ вам нужна сопряженная переменная, и двух достаточно для создания других операторов (мультиплексированных такими в более высоких измерениях). Но это верно и для классической гамильтоновой динамики, с которой, я боюсь, должен был начинаться ваш вопрос. Действительно, выходя за пределы таких узких настроек, например, как в динамике Намбу, вы можете убедить себя, что должны работать с сопряженными парами переменных, видите вы их или нет .
@CosmasZachos Я не понимаю упомянутых вами предостережений. Является ли квантово-механическая потребность в сопряженной переменной, что только тогда я могу построить другие операторы? Если это так, то для меня не проблема, что мне нужны сопряженные переменные и в классической механике.
КМ, по большому счету, является коммутационным соотношением Гейзенберга: без него это не было бы КМ. Таким образом, при наличии сопряженной переменной ваши операторы также будут включать ее (плюс, возможно, другие, такие как операторы спина и т. д.). Точно так же PB (симплектическая) формулировка гамильтоновой механики не будет работать без четномерного фазового пространства. (То же самое верно и для более сложных настроек, таких как NB, но не будем об этом.)
«QM, по большому счету, является коммутационным соотношением Гейзенберга». Да, и я ищу правдоподобный аргумент, почему это так, как тот, который я предложил. Я знаю аргументацию в пользу классической механики (импульс устанавливает фазовое пространство и симплектическую структуру в фазовом пространстве и т. д. и т. д.), но я также хотел бы знать аргумент правдоподобия для КМ.

Ответы (1)

Возможно, это не то, что вы ищете, но я бы поступил так:

Как вы сказали, эволюция времени осуществляется унитарным оператором U ^ ( Δ т ) генератором которого является гамильтониан ЧАС ^ , т.е. U ^ ( Δ т ) "=" е − я ЧАС ^ Δ т / ℏ , и U ^ ( Δ т ) | ψ ( т ) ⟩ "=" | ψ ( т + Δ т ) ⟩ . Таким образом, гамильтониан определяется как оператор, действие которого на представление | ψ ⟩ частицы - это бесконечно малый перенос во времени ЧАС ^ | ψ ⟩ "=" я ℏ г г т | ψ ⟩ .

Аналогично временной эволюции я могу определить унитарный оператор U ^ ( Δ Икс ) действием которого является перемещение частицы на расстояние Δ Икс в Икс -направление. Импульс в Икс Таким образом, -direction определяется как генератор этого унитарного оператора и должен быть эрмитовым: U ^ ( Δ Икс ) "=" е я п ^ Δ Икс / ℏ . Поскольку \hat{p} эрмитова, она имеет собственный базис п ^ | п ⟩ "=" п | п ⟩ , п е р . Из принципа суперпозиции я могу создать другое состояние из собственных состояний импульса как: | Δ Икс ⟩ "=" ∫ г п 2 π ℏ U ^ ( Δ Икс ) | п ⟩ "=" ∫ г п 2 π ℏ е я п Δ Икс | п ⟩ . Это позволяет мне построить оператор положения как Икс ^ "=" ∫ г Δ Икс Δ Икс | Δ Икс ⟩ ⟨ Δ Икс | .

По этим определениям получаем коммутационные соотношения [ Икс ^ , п ^ ] "=" я ℏ 1 . Следовательно, любая квантовая теория с унитарными представлениями пространственных перемещений будет иметь канонически сопряженные операторы положения и импульса.

Это определение импульса как оператора бесконечно малого пространственного смещения кажется мне наиболее естественным как в квантовой, так и в классической физике: в лагранжевом формализме импульс п "=" ∂ л ∂ Икс ˙ - сохраняющийся заряд, связанный с симметрией Икс → Икс + Δ Икс действия. В гамильтоновом формализме импульс определяет оператор, действие которого на функцию фазового пространства Ф ( Икс , п ) задается скобкой Пуассона { Ф , п } "=" ∂ Ф ∂ Икс , это влияние на Ф бесконечно малого смещения в Икс .

Это подводит меня к вашему второму вопросу: « Зачем нам нужна сопряженная переменная для каждой наблюдаемой, на которую мы смотрим? » В общем, сопряженные переменные связаны так же, как время и энергия: одна переменная определяет преобразование системы ( часто симметрия), а другой определяет генератор этого преобразования (и сохраняющийся заряд в случае симметрии). В этом смысле: энергия генерирует сдвиг во времени, импульс генерирует сдвиг в пространстве, оператор числа (или оператор заряда в релятивистской КТП) генерирует фазовое вращение. Ψ ^ → е я α Ψ ^ ( Ψ ^ здесь обозначает оператор квантового поля во вторичном квантовании или релятивистской КТП) и т. д. * . Кроме того, некоторые сопряженные переменные, определяющие преобразование, не имеют соответствующих наблюдаемых/эрмитовых операторов. * * , как время и фаза, поэтому не всегда полезно рассматривать сопряженные переменные как канонически коммутирующие наблюдаемые.

Резюмируя: для сопряженных переменных аналог импульса вызывает бесконечно малое изменение своей сопряженной «координаты». Унитарность КМ подразумевает, что конечные изменения переменной «координата» должны быть представлены унитарными операторами, эрмитовым генератором которых является переменная «импульс». Это определяет переменные собственные состояния «импульса», а действие унитарных изменений «координаты» на последние приводит к соотношениям неопределенностей. В частности, если «координата» имеет соответствующую наблюдаемую и собственный базис, эти две наблюдаемые связаны каноническими коммутационными соотношениями.

* Так как фаза многозначна ( ф ≡ ф + 2 π н ), трудно обеспечить общее и строгое соотношение неопределенности заряд-фаза или количество частиц-фаза, выходящее за рамки наивного неравенства Δ Н Δ ф ≥ 1 / 2 . Тем не менее, это понятие широко используется при изучении когерентных состояний систем многих тел (конденсатов), наиболее близких к «фазовым собственным состояниям», обсуждаемым здесь в контексте квантовой оптики.

* * В этой теме обсуждается возможность оператора времени, а в этой обзорной статье рассматриваются попытки определения оператора фазы.

Есть ли правдоподобная причина существования сопряженных переменных в квантовой механике?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v