Я размышлял о теоремах Гёделя о неполноте и их последствиях для всей математики.
В этом вопросе я предполагаю некоторую фиксированную формальную систему F, достаточно выразительную для прохождения теорем.
Суть теорем, по-видимому, состоит в том, что существуют теоретико-числовые факты , которые верны, но недоказуемы.
Теперь давайте поговорим о возможных основаниях математики. Арифметика натуральных чисел — неотъемлемая часть математики, поэтому фундамент должен включать арифметику по определению. Кроме того, в основе должна быть некоторая онтология. Например, онтология ZFC включает только чистые множества и ничего более.
Здесь все становится интереснее: каждый объект ZFC представляет собой множество, включая числа, поэтому неполнота распространяется не только на числа, но и на множества, порождая все неразрешимые проблемы, казалось бы, совершенно не связанные с арифметикой.
Можем ли мы теперь придумать основу, которая имеет следующую онтологию: числа существуют, а также существуют какие-то другие фундаментальные объекты, не имеющие формальной связи с указанными числами?
Так вот, эти числа в этом фундаменте никогда не покидают «карантинную зону», и их проблемы недоказуемости никогда не распространяются со скоростью лесного пожара по всему фундаменту, оставляя другие фундаментальные объекты «здоровыми».
Возможна ли такая вещь? Является ли ситуация с ZFC неизбежной для всех мыслимых оснований математики?
Мое понимание ошибочно?
Это естественная идея, но, к сожалению, ответ отрицательный, это неосуществимо. Корень неполноты не в числах, а в возможности (неявной) самореференции, арифметика — это всего лишь простейшая структура, которая уже реализует эту возможность. На самом деле нужна даже не арифметика Пеано, а гораздо более слабая арифметика Робинсона .даже без индукции для доказательства. В конце концов, важно не то, есть ли в теории числа, или множества, или что-то еще, или то, как части связаны друг с другом или изолированы друг от друга, а только выразительная сила теории. Пока он может имитировать минимальную выразительную силу арифметики, возникает неполнота, независимо от того, связываем ли мы числа с другими объектами или вообще имеем числа, не имеет значения. Неполнота не распространяется от чисел, она присуща всему, что может имитировать числа. Если другие объекты не могут, они остаются «здоровыми»,
С этим можно пойти удивительно далеко, на самом деле это называется предикативной математикой . Как показали номиналисты вроде Филда, хотя она и слабее классической математики, но по крайней мере для всех целей классической физики ее достаточно. В предикативной математике неполнота по существу сводится только к арифметике. Витгенштейн был готов пойти еще дальше и свести математику к примитивной рекурсивной арифметике, которая является финитистской, см. Предвосхищал ли Витгенштейн Гёделя?Но если мы действительно хотим победить неполноту, не упрощая математику, структурные манипуляции не помогут, мы должны отказаться от одной из других предпосылок Гёделя: либо математика рекурсивно аксиоматизируема (аксиомы распознаются как таковые), либо она непротиворечива ( или оба). Опять же, Витгенштейн был готов отказаться от последовательности и ограничить противоречия, используя то, что позже превратилось в неклассическую («диалетическую») логику. Развитие этих идей привело к современной непоследовательной математике, которая производит полностью противоречивую арифметику, которая может доказать нетривиальность их непротиворечивых частей. См. Есть ли в аргументе Гёделя о том, что разум сильнее компьютеров, лазейка для противоречия? а такжеВ каком тексте/документе понятие диалетеизма впервые было представлено как серьезная позиция?
Однако маловероятно, что предикативизм, финитизм или диалетеизм станут господствующими позициями среди математиков. Они рассматриваются как слишком ограничительные и/или искусственные для поддержки существующей математической практики, которая на самом деле не нуждается ни в полноте, ни в основаниях.
Чтобы дополнить ответ Конифолда, вот еще один способ взглянуть на него: утверждения о теории чисел всегда заканчиваются утверждениями и в теории чисел. Возьмите любую теорему из теории чисел и замените символы числами, используя подходящую кодировку, и вы получите уравнение.
Из-за этого любая система, достаточно богатая, чтобы охватить арифметику натуральных чисел, не может избежать самореференции. И, как указывает Конифолд, самореференция делает неизбежным парадокс, лежащий в основе теоремы Геделя.
Теорема Гёделя о неполноте доказана для любой самореферентной системы, которая является омега-непротиворечивой. Тем не менее, были некоторые хитрые обходные пути. Работа Дэна Уилларда, в частности, исследовала умный обходной путь, если не считать, что умножение является суммарной функцией (т. е. существуют числа, которые нельзя перемножать). Он смог разработать такие системы, в которых он мог доказать все истины арифметики, но система была слишком слабой, чтобы допустить лемму о диагонализации, необходимую для доказательства Гёделя. Такие системы могли доказать свою непротиворечивость, но не могли доказать лемму, необходимую для работы доказательства Гёделя.
Да, присоединившись к школе логиков. Предложение Гёделя не представляет угрозы для логицизма, потому что самореферентное предложение бессмысленно для логицистов.
Значение гёделевского предложения G не может быть определено до тех пор, пока не будет определена каждая из составляющих G; одной из составляющих G является сама G, таким образом возникает порочный круг. Для формалистов математика — это чернильные пятна, не имеющие смысла, поэтому предложение Гёделя представляет собой веский аргумент. Для логиков значение имеет фундаментальное значение; поскольку предложение Гёделя не имеет значений, предложение Гёделя G не влияет на логицизм.
Любая область математики, имеющая практическое применение, должна заниматься значениями.
Присвоение числа величине называется измерением; измерение не имеет фундаментального значения для математики.
пользователь9166