Расчет среднего значения вакуума в киральной теории возмущений

Как я уже сказал, я не хочу корчить рожи в вашей обзорной статье, но текст Т.П. Чанга и Л.Ф. Ли , главы 5.4, 5.5, менее недружелюбен.

В любом случае вы заблудились, а схема местности в порядке , так что я буду схематичным, так как все правильные формулы есть, но их связь кажется потерянной... Все индексы γ -матрицы в прямой продукт$\gamma \otimes \tau_a$насыщены спинорами, поэтому вы имеете дело только с ароматизированными скалярными и псевдоскалярными комбинациями Sa, Pa _и безвкусными , такими _как S , P. (Итак, чтобы ответить на ваш вопрос о редактировании,$\gamma_5$действие — это ароматическая диагональ: оно соединяет нас с нами и д с с д .)

Дело в том, что непертурбативная КХД производит скалярный конденсат, то есть только Ss получают vev и никогда Ps , последняя строка таблицы 4.1, с. 81, так$\langle S\rangle = \langle \bar{q} q\rangle \neq 0$, то, что нормальные люди называют σ .

Итак, для начала вам интересно, как вычислить 0, который на самом деле является заданным. КХД, как векторная теория, не может нарушить четность. Во-первых, он также не может нарушить изоспин (который явно нарушается малыми массами кварков), поэтому свяжите векторные компоненты$\langle S_a\rangle=0$, чтобы ввести дополнительные ограничения на билинейки, как он это делает в (4.15), для изоспина просто$\langle \bar{u} u \rangle = \langle \bar{d} d \rangle$.

Вы вычисляете vev не пионов, а фактически билинейных объектов таких объектов (каждый из которых является билинейным кварком). Без суммирования по повторяющимся изоспиновым индексам, (4.17,8),$\langle \delta_a P_a\rangle\neq 0$, дает неисчезающую неинтегрированную версию (4.19). Осевой заряд не может уничтожить вакуум, как и псевдоскалярная плотность P _a .

Теперь псевдоскалярные билинейные$P_a$являются интерполяционными полями КХД трех пионов, π , голдстоуновскими полями этого спонтанного/динамического нарушения киральной симметрии, и они определенно не имеют неисчезающих vevs — напомните себе киральную σ- модель из предыдущих разделов, хотя они не аннигилировать вакуум, выше.

Но они знают о вакууме... Вместо того, чтобы убить его, исключенное выше, они проскальзывают в него и из него, через самое важное уравнение статьи - и любой статьи на эту тему - (4.19), PCAC, мать всех мягких пионных теорем в современной алгебре ,

Осевое поле в середине — это киральный ток заряда, поэтому в преобразовании Фурье его 0-я компонента, интегрированная по пространству, дала бы 0, действующую слева. Если бы вакуум был хирально инвариантным — но это не так! (На самом деле, киральный заряд имеет инфракрасные проблемы в своем определении, согласно теореме Фабри-Пикассо , но давайте не будем суетиться здесь...) Что он делает, так это генерирует пион в этой нелинейной реализации, который аннигилирует пион, на который он воздействует, справа.

Итак, взяв расходимость этого тока в пространстве Фурье, получим$m_\pi^2$в правой части, и это должно исчезнуть в идеальном мире (CAC), в котором$\partial^\mu A^a_\mu=0$. Но это грязный реальный мир, в котором киральная симметрия аппроксимируется вплоть до масс кварков, так что масса пиона может оставаться отличной от нуля (P означает «частично») до тех пор, пока существуют небольшие «зародышевые» массы кварков, препятствующие этому. быть голдстоном, как того требует теорема Голдстоуна: пионы - псевдоголдстоны.

Их vev обращается в нуль в единственном вакууме, |0>, но киральный заряд вклинивается в вакуум и создает их почти (псевдо) нулевые частотные состояния.