Почему бы не использовать лагранжиан вместо гамильтониана в нерелятивистской КМ?

Классическая механика бакалавриата вводит как лагранжианы, так и гамильтонианы, в то время как квантовая механика бакалавриата, похоже, использует только гамильтониан. Но физика элементарных частиц и, в более общем смысле, квантовая теория поля, похоже, используют только лагранжиан, например, вы слышали о лагранжиане Клейна-Гордона, лагранжиане Дирака, лагранжиане стандартной модели и так далее.

Почему здесь несоответствие? Почему кажется, что в студенческой квантовой механике используются только гамильтонианы, а в квантовой теории поля — только лагранжианы?

Оба метода равнозначны и используются, честно говоря. Импульсы и координаты использовались до квантовой механики в старом (боровском) квантовании, вспомните квантование фазового пространства. ∫ д п д д .
Возможно, стоит отметить, что подход Лагранжа/интеграла по путям очень плохо подходит для изучения проблем связанных состояний. Просто попробуйте атом водорода с лагранжевым подходом, даже Фейнман не смог бы этого сделать!

Ответы (8)

Чтобы использовать лагранжианы в КМ, нужно использовать формализм интеграла по путям. Это обычно не рассматривается в курсе QM для старшекурсников, поэтому используются только гамильтонианы. В текущих исследованиях лагранжианы часто используются в нерелятивистской КМ.

В релятивистской КМ используются как гамильтонианы, так и лагранжианы. Причина, по которой лагранжианы более популярны, заключается в том, что они приравнивают время и пространственные координаты, что позволяет записывать релятивистские теории ковариантным образом. При использовании гамильтонианов релятивистская инвариантность не является явной и может многое усложнить.

Таким образом, оба формализма используются как в релятивистской, так и в нерелятивистской квантовой физике. Это очень короткий ответ.

Существует также ковариантный гамильтонов формализм теории поля, в котором фазовое пространство бесконечномерно или используется язык мультисимплектики. В любом случае математика слишком сложна, чтобы ее можно было охватить на курсах для выпускников.
Почему необходимо использовать интегралы по траекториям, чтобы использовать лагранжев формализм для КМ?
@StanShunpike Если вы примените формализм Лагранжа к квантовой механике, вы получите формализм интеграла по путям. Вот как это обнаружил Фейнман. Если вы используете формализм Гамильтона, вы получите обычную каноническую формулировку. Если вы используете ньютоновский формализм, то в конечном итоге вы получите бомовскую механику. См. physicstravelguide.com/frameworks .

Как указывает Вайнберг в своей книге КТП, в гамильтоновом формализме легче проверить унитарность теории, потому что унитарность напрямую связана с эволюцией, в то время как в лагранжевом формализме симметрии, смешивающие пространство со временем, более явны. Поэтому гамильтонов формализм обычно более удобен в нерелятивистских и галилеевых квантовых теориях.

Что вы подразумеваете под более явным?
@StanShunpike Чтобы теория была инвариантной Пуанкаре, лагранжиан должен быть скаляром Пуанкаре, что легко увидеть. Эквивалентное условие в гамильтоновом формализме состоит в том, что существует алгебра Пуанкаре с гамильтонианом в качестве нулевой компоненты 4-импульса. Это условие нужно проверить, так как не элементарно увидеть.

Я бы сказал, из-за того, как вы эффективно решаете проблемы, а также из-за педагогики. Оба используются в обоих случаях.

Подход оператора Гамильтона подчеркивает спектральные аспекты квантовой механики, с которыми студент знакомится на этом этапе. − а тут лагранжиан

л ( ψ , ∇ ψ , ψ ˙ ) знак равно я ℏ 1 2 ( ψ * ψ ˙ − ψ * ˙ ψ ) − ℏ 2 2 м ∇ ψ * ∇ ψ − В ( р , т ) ψ * ψ

для уравнения Шредингера

∂ л ∂ ψ * − ∂ ∂ т ∂ л ∂ ∂ ψ * ∂ т − ∑ Дж знак равно 1 3 ∂ ∂ Икс Дж ∂ л ∂ ∂ ψ * ∂ Икс Дж знак равно 0.

Лагранжиан (плотность) особенно важен для формулировки интеграла по путям и в некотором роде ближе к выявлению симметрии теории поля. Теорема Нётер и так далее. − но я помню, что книга Пескина и Шредера по квантовой теории поля начинается с гамильтонового подхода и представляет методы интеграла по траекториям всего на 300 страницах.

Я думаю, что гамильтоновскому подходу уделяется особое внимание в бакалавриате больше из-за привычки и влияния Дирака, чем из-за какой-либо глубокой математической причины. Гамильтониану также легче обучать, потому что он совместим с классической интуицией времени.

Исторически сложилось так, что Дирак решительно выступал за первенство гамильтониана буквально незадолго до своей смерти. Моя собственная интерпретация косвенного выговора лагранжиану, сделанного Дираком в его «Лекциях по квантовой механике» (1966) (отличное чтение!), заключается в том, что Дирак был недоволен славой, которую приобретал Фейнман, хотя Дирак всегда был так сдержан в выражении недовольства. с другими физиками, что очень трудно сказать наверняка. Преуменьшение Дираком ценности лагранжевого подхода выглядит глубоко иронично, поскольку Дирак был тем, кто первым показал, что классический лагранжиан может быть применен к КМ [1]. Это была та самая малоизвестная статья, которая много лет спустя вдохновила и положила начало замечательной работе Фейнмана по КЭД.

[1] П.А.М. Дирак, Лагранжиан в квантовой механике, Phys. Зс. Sowjetunion 3 (1933) № 1; перепечатано в: Дж. Швингер (ред.), Избранные статьи по квантовой электродинамике , 1958, № 26 .

Дираку было наплевать на славу. Известно, что он хотел отказаться от Нобелевской премии, но ему сказали, что это сделает его еще более известным. Он был раздражен по той же причине, по которой отказался от интеграла по траекториям — он не мог сообразить, что делать в случае, если гамильтониан не квадратичен по импульсам. Это также было проигнорировано Фейнманом, и это решается только более общим взглядом на интеграцию путей, чем тот, который доступен в работах Фейнмана. К сожалению, случая квадратичного импульса достаточно для теории поля, поэтому люди не замечают, что формализм в том виде, в котором он обычно представляется, неполный.
@RonMaimon интересно, спасибо! Я не знал об этом конкретном беспокойстве Дирака. У вас случайно нет краткой справки об этом, не так ли?... И вообще, чем больше оригинальных произведений Дирака я читал, тем больше у меня отвисала челюсть. Он был удивительным и (я думаю) недооцененным мыслителем, даже учитывая его солидную известность.
Болинджер: Дирак — великий физик, он основатель физики высоких энергий, но я думаю, что люди это уже признают. История, которую я читал, касалась печально известной конференции в Поконо (или острова-убежища, не помню, что именно), где Фейнман представил интегралы по траекториям и диаграммы. Дирак заметил, что этот формализм, по-видимому, не является унитарным. В своих лекциях по теории поля 1960-х годов он доказывает, что квадратичные импульсы — это единственное, с чем работает интеграл по траекториям. Я могу ошибаться в цитатах, я читал это давным-давно.
@RonMaimon Существует формулировка гамильтонова формализма в виде интеграла по путям. Это эквивалентно обычной формулировке теорий, квадратичных по импульсам.
@orbifold: И многие люди говорили (глупо), что интеграл пути pq определен неправильно, потому что p и q не коммутируют (например, Сидни Коулман говорил это, это совершенно неправильно). Кроме того, Дирак счел бы, что интеграл по путям pq эквивалентен каноническому формализму (которым он и является), поскольку он выбирает разложение pq и разложение по времени. Только форма Фейнмана (после выполнения p-интеграла) является ковариантной относительно теории относительности.
Ссылка кажется мертвой сейчас.
@urb, какая ссылка?
@TerryBollinger, ссылка в конце вашего ответа показывает ошибку 404: «Не найдено. Запрошенный URL-адрес не найден на этом сервере».
Я просто перенаправил эту ссылку, чтобы указать, где находится статья в версии книги Швингера для Google Книг. Надеюсь, это останется стабильным. Саму статью чрезвычайно трудно найти в Интернете, хотя на первый взгляд я не вижу каких-либо блокирующих проблем с авторским правом для оригинальной статьи из оригинального журнала.

В нескольких словах

  1. Унитарность оператора эволюции U(t) легко увидеть с помощью гамильтонова формализма.
  2. Лоренц-инвариантность S-матрицы (матрицы рассеяния) легко увидеть с помощью лагранжевого формализма.

Неверно, « что КТП и физика элементарных частиц полагаются вместо этого на лагранжиан » .

Генератор сдвигов времени в квантовой теории — это гамильтониан, а не лагранжиан; поэтому нам нужен гамильтониан для изучения эволюции квантовой системы.

Как упоминалось в томе 1 учебника Вайнберга по КТП, глава 7:

Именно гамильтонов формализм необходим для вычисления S-матрицы (будь то операторными методами или методами интеграла по путям), но не всегда легко выбрать гамильтонианы, которые дают лоренц-инвариантную S-матрицу.

Суть лагранжева формализма в том, что он позволяет легко удовлетворить лоренц-инвариантность и другие симметрии: классическая теория с лоренц-инвариантной лагранжевой плотностью при каноническом квантовании приведет к лоренц-инвариантной квантовой теории. То есть мы увидим здесь, что такая теория позволяет построить подходящие квантово-механические операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре, и, следовательно, приводит к лоренц-инвариантной S-матрице.

Поэтому обычный рецепт состоит в том, чтобы постулировать некоторый лагранжиан, проверить, удовлетворяет ли он определенным основным свойствам, затем вывести гамильтониан из этого лагранжиана и, наконец, использовать этот гамильтониан для вычисления элементов S-матрицы.

На мой взгляд, существующий выбор между каноническим (гамильтоновым) и интегральным по путям (лагранжевым) формализмом является далеко идущим следствием корпускулярно-волнового дуализма в КМ. Первый подчеркивает спектральные аспекты, второй можно рассматривать как глубокое обобщение принципа Ферма для распространения лучей в оптике. Поскольку большинство экспериментов в физике элементарных частиц представляют собой своего рода рассеяние, волновые аспекты обычно более важны, следовательно, лагранжев формализм гораздо более адекватен для практического использования.

Гамильтонианы популярны в нерелятивистских формулировках, где не важен тот факт, что они не являются релятивистскими инвариантными объектами. Лагранжианы популярны в физике элементарных частиц, потому что они являются релятивистскими инвариантами. Это только облегчает все, потому что вам не нужно заботиться о том, какова новая форма лагранжиана, когда вы анализируете системы, в которых возникают релятивистские эффекты. Очевидно, что в физике высоких энергий все в основном находится в релятивистском режиме. Если бы мы использовали гамильтонианы для анализа релятивистских режимов, нам пришлось бы беспокоиться об изменениях гамильтониана в таких режимах. Я надеюсь, что это помогает.

Почему бы не использовать лагранжиан вместо гамильтониана в нерелятивистской КМ?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v