Эволюция состояний во времени. Полная энергия постоянна или нет?

Похоже, вы работаете с одномерным простым гармоническим осциллятором, и в этом случае ваше выражение в скобках, для которого вы вычислили производную по времени, не является математическим ожиданием гамильтониана. Твой$\hat p$надо возвести в квадрат и разделить на$2m$и$\hat x$должны быть возведены в квадрат.

Кроме того, вы спрашиваете

не должна ли сохраняться полная энергия?

В этом случае математическое ожидание гамильтониана должно сохраняться, поскольку оно не имеет явной зависимости от времени. Чтобы быть более точным, напомним, что в общем случае производная по времени от ожидаемого значения любой наблюдаемой$\hat O$удовлетворяет

$$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle \psi(t)|\hat O|\psi(t)\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle\psi(t)|[\hat H,\hat O]|\psi(t)\rangle + \langle\psi(t)| \frac{\partial \hat O}{\partial t}|\psi(t)\rangle. \end{align}$$ В частном случае производная по времени от среднего значения гамильтониана удовлетворяет условию $$\begin{align} \frac{d}{dt}\langle \psi(t)|\hat H|\psi(t)\rangle = \langle\psi(t)| \frac{\partial \hat H}{\partial t}|\psi(t)\rangle \end{align}$$ с $[\hat H, \hat H] = 0$. Поэтому в любое время $\partial \hat H/\partial t = 0$, среднее значение гамильтониана сохраняется.