Эволюция времени в абстрактном пространстве состояний квантовой механики

Как я узнал, первый постулат квантовой механики можно сформулировать следующим образом:

Состояния квантовой системы описываются векторами в комплексном гильбертовом пространстве. ЧАС .

Затем в книге подчеркивается, что ЧАС не обязательно л 2 ( р н ) для некоторых н , т.е. это не обязательно пространство волновых функций. Автор говорит элемент | ψ ⟩ е ЧАС вместо того, чтобы быть волновой функцией, это абстрактный объект, содержащий всю информацию о системе в этом состоянии.

В таком контексте, как я понял, волновые функции появляются как одно из возможных представлений состояний системы в случае, когда мы имеем дело с частицей без спина. В этом случае для каждого кет | ψ ⟩ один связывает функцию ψ е л 2 ( р н ) и у одного есть ⟨ Икс | определяется

⟨ Икс | ψ ⟩ "=" ψ ( Икс )

для всех Икс е р н .

Теперь эволюция волновой функции просто задается уравнением Шредингера. Другими словами, эволюция т ↦ Ψ ( ⋅ , т ) с Ψ ( ⋅ , т ) е л 2 ( р н ) дан кем-то

− я ℏ ∂ Ψ ∂ т ( Икс , т ) "=" ЧАС ^ Ψ ( Икс , т )

где ЧАС ^ : л 2 ( р н ) → л 2 ( р н ) — оператор Гамильтона для частицы.

Но как насчет общего случая? Если ЧАС является гильбертовым пространством для некоторой квантовой системы, и если у нас есть одно начальное состояние | ψ 0 ⟩ учитывая, каково время эволюции в этом случае? На мой взгляд, это не может быть уравнение Шредингера как есть, потому что кеты | ψ ⟩ е ЧАС не являются функциями.

Принимая это во внимание, как можно рассматривать эволюцию во времени общих квантовых систем в этом абстрактном формализме пространства состояний?

Краткий ответ таков: | ψ ( т ) ⟩ представляет собой кет-значную функцию времени , которая связывает кет (вектор состояния) с каждым значением т . Абстрактное уравнение Шрёдингера эквивалентно
| ψ ( т + д т ) ⟩ "=" | ψ ( т ) ⟩ − я ℏ ЧАС | ψ ( т ) ⟩ д т

Ответы (2)

Уравнение Шрёдингера не ограничивается каким-либо конкретным гильбертовым пространством. С абстрактными кетами проблем нет.

Учитывая пространство состояний ЧАС , состояние Шредингера (или зависящее от времени) задается (гладкой) картой

| ψ ( ˙ ) ⟩ : р → ЧАС , т ↦ | ψ ( т ) ⟩
поэтому состояние Шредингера | ψ ( ˙ ) ⟩ в С ∞ ( р , ЧАС ) и временная эволюция задается выполнением уравнения Шредингера
я ℏ ∂ т | ψ ( т ) ⟩ "=" ЧАС | ψ ( т ) ⟩
где следует понимать, что ∂ т действует на функцию р → ЧАС (т.е. ∂ т | ψ ( т ) ⟩ является производной от | ψ ( ˙ ) ⟩ оценивается в т ) и ЧАС действует на его значение в ЧАС в то время т .

Важно понимать, что производная по времени действует на функции в пространстве состояний и не является оператором самого пространства состояний, см. также этот мой ответ .

Кто сказал, что кеты не являются функциями? Кет может быть функцией времени: | ψ ( т ) ⟩ . Поскольку они являются элементами векторного пространства (с полным скалярным произведением), вы можете определить их производную:

д | ψ ⟩ д т "=" лим час → 0 | ψ ( т + час ) ⟩ − | ψ ( т ) ⟩ час

И учитывая гамильтониан ЧАС : ЧАС → ЧАС , который является линейным оператором в гильбертовом пространстве (и может даже быть функцией самого времени), уравнение Шредингера гласит:

я ℏ д | ψ ( т ) ⟩ д т "=" ЧАС | ψ ( т ) ⟩

Эволюция времени в абстрактном пространстве состояний квантовой механики
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v