Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора

Читая книгу Сакурая по квантовой механике, я нашел зависящее от времени уравнение Шредингера для унитарного оператора.

я ℏ ∂ ∂ т U ( т , т 0 ) "=" ЧАС U ( т , т 0 ) .

Решение приведенного выше уравнения для оператора Гамильтона, не зависящего от времени, дается следующим образом:

U ( т , т 0 ) "=" опыт ⁡ [ − я ЧАС ( т − т 0 ) ℏ ] .

Кто-нибудь может объяснить, как это происходит? U ( т , т 0 ) является оператором, а не функцией.

Справочник - Современная квантовая механика (Сакураи) - 2-е издание - Глава 2 (№ страницы - 70)

Что вы имеете в виду, как это происходит? Вы имеете в виду, откуда берется это решение? Просто поместите его в уравнение Шрёдингера (т.е. возьмите его производную по времени и умножьте на я ℏ , который дает ЧАС U ) или вы спрашиваете об этом с физической точки зрения?

Ответы (2)

Оператор U ( Δ т ) действует на начальную волновую функцию (скажем, при т "=" 0 ), чтобы дать волновую функцию в любой более поздний момент времени т . Как вы показали в вопросе

U ( Δ т ) "=" е − я ЧАС Δ т
Допустим, начальная волновая функция была ψ ( Икс , 0 ) то волновая функция после Δ т истекшее время будет указано
ψ ( Икс , т ) "=" U ( т ) ψ ( Икс , 0 )
Или
ψ ( Икс , т ) "=" е − я ЧАС т ψ ( Икс , 0 )
Проблема здесь в том, что оператор находится в показателе степени. Решение состоит в том, чтобы рассмотреть серию Mc Lauren. Чтобы было проще, скажем, что Δ т очень мал. Следовательно
ψ ( Икс , т ) "=" ψ ( Икс , 0 ) − я т ЧАС ψ ( Икс , 0 )
Вот как действует оператор временной эволюции на волновые функции. Для получения более точных описаний могут быть включены термины более высокого порядка.

Надеюсь это поможет.

U ( т , т 0 ) еще оператор. Показатель степени следует понимать как разложение Тейлора.

Для неограниченного оператора разложения Тейлора не существует.
Хорошо, как это называется вместо этого?
Экспонента самосопряженного оператора определяется с помощью «функционального исчисления», а не с помощью разложения в ряд из-за проблем домена (сходимости).
Но если нам нужно решить уравнение, зависящее от времени, оператор рассеяния, который является унитарным оператором, например, задается через
U "=" Т опыт ⁡ − я ∫ ЧАС инт
с оператором заказа времени Т и гамильтониан взаимодействия ЧАС инт . И эта экспоненциальная функция символична для
U "=" 1 − я ∫ д т ′ ЧАС инт ( т ′ ) + ( − я ) 2 Т ∫ д т ′ ∫ д т ″ ЧАС инт ( т ′ ) ЧАС инт ( т ″ ) + . . .
которое является выражением ряда.
Это «выражение» является формальным или символическим. Ряд Дайсона определим напрямую, если и только если гамильтониан всегда ограничен. См. Reed & Simon, Vol.II, p. 282, тел. Х.69
Ладно, понял. Чем я неправильно понял это в нашей лекции. Спасибо.
Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v