Докажите, что зависящий от времени гамильтониан является эрмитовым из-за унитарности оператора эволюции во времени.

Question

Докажите, что зависящий от времени гамильтониан является эрмитовым из-за унитарности оператора эволюции во времени.

пхен

Когда мы решаем уравнение Шрёдингера для оператора эволюции во времени:

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0}) "=" ЧАС U (т, т_{0}),

$\begin{equation} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0})=HU(t,t_{0}), \end{equation}$

У нас есть три случая, которые следует рассматривать отдельно:

Случай 1. Оператор Гамильтона $H$ не зависит от времени:

U (т, т_{0}) "=" опыт [\frac{- я ЧАС (т - т_{0})}{ℏ}];

$\begin{equation} U(t,t_{0})=\exp\left[\frac{-iH(t-t_{0})}{\hbar}\right]; \end{equation}$

Случай 2. Оператор Гамильтона $H$ зависит от времени, но $H's$ в разное время ездят:

U (т, т_{0}) "=" опыт [- \frac{я}{ℏ} \int_{т_{0}}^{т} г т^{^{'}} ЧАС (т^{^{'}})];

$\begin{equation} U(t,t_{0})=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_{t_{0}}^{t}dt^{'}H\left(t^{'}\right)\right]; \end{equation}$

Случай 3. Оператор Гамильтона $H$ зависит от времени и $H's$ в разное время не коммутируют:

\begin{array}{rcl} U (т, т_{0}) & "=" & 1 + \overset{\infty}{\sum_{н "=" 1}} [{(\frac{- я}{ℏ})}^{н} \int_{т_{0}}^{т} г т_{1} \int_{т_{0}}^{т_{1}} г т_{2} . . . \int_{т_{0}}^{т_{н - 1}} г т_{н} ЧАС (т_{1}) ЧАС (т_{2}) . . . ЧАС (т_{н})] \\ "=" & Т {опыт [- я \int_{т_{0}}^{т} г т^{^{'}} ЧАС (т^{^{'}})]} \end{array}

$\begin{eqnarray} U(t,t_{0}) & = & 1+\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\left[\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^{n}\int_{t_{0}}^{t}dt_{1}\int_{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}...\int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})...H(t_{n})\right]\\ & = & \mathcal{T}\left\{ \exp\left[-i\int_{t_{0}}^{t}dt^{'}H(t^{'})\right]\right\} \end{eqnarray}$

Если рассмотреть случай 1, то легко доказать следующее утверждение:

Гамильтонов оператор $H$ является эрмитовым тогда и только тогда, когда оператор эволюции во времени $U$ является унитарным.

Но как доказать это утверждение для гамильтоновых случаев, зависящих от времени?

Ответы (3)

Докажите, что зависящий от времени гамильтониан является эрмитовым из-за унитарности оператора эволюции во времени.

пользователь_35 · Answer 1

Вы можете доказать это, не рассматривая какие-либо конкретные случаи, выполнив возмущение первого порядка дифференциального уравнения, которое определяет оператор эволюции во времени.

Мы начинаем с

я ℏ \frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0}) "=" ЧАС U (т, т_{0}) .

$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = H U(t, t_0).$

Или, переставляя некоторые термины,

\frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0}) "=" - \frac{я}{ℏ} ЧАС U (т, т_{0}) .

$\frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = - \frac{i}{\hbar} H U(t, t_0).$

Вовремя $t + \delta t$ , приведенное выше уравнение говорит нам, что в первом порядке в $\delta t$ у нас есть

U (т + дельта т, т_{0}) "=" U (т, т_{0}) - \frac{я}{ℏ} ЧАС U (т, т_{0}) дельта т .

$U(t + \delta t, t_0) = U(t, t_0) - \frac{i}{\hbar} H U(t, t_0) \delta t.$

Если $U$ унитарно, то имеем

я "=" U^{†} U (т + дельта т, т_{0}) "=" [U^{†} (т, т_{0}) + \frac{я}{ℏ} U^{†} (т, т_{0}) {ЧАС}^{†} дельта т] [U (т, т_{0}) - \frac{я}{ℏ} ЧАС U (т, т_{0}) дельта т] .

$I = U^{\dagger} U (t + \delta t, t_0) = \left[ U^{\dagger}(t, t_0) + \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) H^{\dagger} \delta t\right] \left[ U(t, t_0) - \frac{i}{\hbar} H U(t, t_0) \delta t \right].$

Расширяя это и сохраняя только термины первого порядка в $\delta t$ урожаи

я "=" U^{†} U (т, т_{0}) - \frac{я}{ℏ} U^{†} (т, т_{0}) ЧАС U (т, т_{0}) дельта т + \frac{я}{ℏ} U^{†} (т, т_{0}) {ЧАС}^{†} U (т, т_{0}) дельта т .

$I = U^{\dagger} U (t, t_0) - \frac{i}{\hbar} U^{\dagger} (t, t_0) H U (t, t_0) \delta t + \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) H^{\dagger} U (t, t_0) \delta t.$

Поскольку мы требовали этого $U$ унитарна на все времена, мы также должны иметь $U^{\dagger} U (t, t_0) = I.$ Замена этого и отмена $I$ из обеих частей уравнения дает

0 "=" \frac{я}{ℏ} U^{†} (т, т_{0}) ({ЧАС}^{†} - ЧАС) U (т, т_{0}) дельта т .

$0 = \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) \left(H^{\dagger} - H \right) U(t, t_0) \delta t.$

Поэтому мы должны иметь $H^{\dagger} = H$ . Итак, мы показали, что если $U$ унитарна, то $H$ должен быть эрмитовым.

Для другого направления мы возвращаемся к нашему разложению первого порядка:

U^{†} U (т + дельта т, т_{0}) "=" U^{†} U (т, т_{0}) - \frac{я}{ℏ} U^{†} (т, т_{0}) ЧАС U (т, т_{0}) дельта т + \frac{я}{ℏ} U^{†} (т, т_{0}) {ЧАС}^{†} U (т, т_{0}) дельта т .

$U^{\dagger} U (t + \delta t, t_0) = U^{\dagger} U (t, t_0) - \frac{i}{\hbar} U^{\dagger} (t, t_0) H U (t, t_0) \delta t + \frac{i}{\hbar} U^{\dagger}(t, t_0) H^{\dagger} U (t, t_0) \delta t.$

Если $H$ эрмитов, то

U^{†} U (т + дельта т, т_{0}) "=" U^{†} U (т, т_{0}) .

$U^{\dagger} U (t + \delta t, t_0) = U^{\dagger} U(t, t_0).$

Так $U^{\dagger} U(t, t_0)$ постоянно для всех $t$ . С $U(t_0, t_0)$ это личность, мы должны иметь $U^{\dagger} U(t, t_0) = I$ для всех $t$ . Таким образом, мы доказали, что если $H$ эрмитов, то $U$ должен быть унитарным.

Хиггсс · Answer 2

Отшельничество $H$ для всех трех случаев, объединенных вместе, можно показать непосредственно из уравнения Шредингера. Для этого сначала возьмем производную от отношения унитарности $U(t,t_{0}) U^{\dagger}(t,t_{0}) = I$ в отношении $t$ , который дает

U (т, т_{0}) [\frac{\partial}{\partial т} U^{†} (т, т_{0})] "=" - [\frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0})] U^{†} (т, т_{0}) .

$\begin{equation} U(t,t_{0}) \left[\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}(t,t_{0}) \right] = -\left[\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0}) \right]U^{\dagger}(t,t_{0}). \end{equation}$ Затем рассмотрим эрмитово сопряжение

ЧАС "=" я ℏ [\frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0})] U^{†} (т, т_{0}),

$\begin{equation} H = i\hbar \left[\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0}) \right] U^{\dagger}(t,t_{0}), \end{equation}$ который читает

\begin{aligned} {ЧАС}^{†} & "=" - я ℏ U (т, т_{0}) [\frac{\partial}{\partial т} U^{†} (т, т_{0})] \\ "=" я ℏ [\frac{\partial}{\partial т} U (т, т_{0})] U^{†} (т, т_{0}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} H^{\dagger} &= -i\hbar\, U(t,t_{0})\left[\frac{\partial}{\partial t}U^{\dagger}(t,t_{0}) \right] \\ &= i\hbar\, \left[\frac{\partial}{\partial t}U(t,t_{0}) \right]U^{\dagger}(t,t_{0}). \end{split} \end{equation}$ Поэтому,

H = H^{†}

$H = H^\dagger$ , и поэтому

H

$H$ является эрмитовым.

юггиб · Answer 3

Я думаю, что унитарность всех $\bigl(U(t,t_0)\bigr)_{(t,t_0)\in\mathbb{R}^2}$ не дает тебе так много. Унитарность фактически закодирована в (двухпараметрическом) групповом свойстве, т.е. $U(t,t_0)U(t_0,t_1)=U(t,t_1)$ для любого $t,t_0,t_1\in\mathbb{R}$ (с $U(t,t)=1$ для любого $t$ ). Предположим, что $U(t,t_0)$ дифференцируем на $t$ и $t_0$ на подходящих доменах для любых $t,t_0$ (домены могут зависеть от времени); и что дифференцируя, мы получаем уравнения

\begin{aligned} я \partial_{т} U (т, с) & "=" ЧАС (т) U (т, с) \\ я \partial_{с} U (т, с) & "=" - U (т, с) {ЧАС}^{'} (с); \end{aligned}

$\begin{align*} i\partial_t U(t,s)&=H(t)U(t,s)\\ i\partial_{s} U(t,s)&=-U(t,s)H'(s)\; ; \end{align*}$ для некоторых семей

(H (t))_{t \in R}

$\bigl(H(t)\bigr)_{t\in\mathbb{R}}$ и

(H^{'} (s))_{s \in R}

$\bigl(H'(s)\bigr)_{s\in\mathbb{R}}$ операторов. Теперь унитарность подразумевает, что

U (t, s)^{*} = U (s, t)

$U(t,s)^* = U(s,t)$ , поэтому, принимая сопряженное к первому уравнению, получаем, что

- я \partial_{т} U (с, т) "=" U (с, т) ЧАС (т)^{*},

$-i\partial_t U(s,t)=U(s,t)H(t)^*\; ,$ и отсюда следует, что для любого

t \in R

$t\in \mathbb{R}$ , "правильные генераторы"

H^{'} (t)

$H'(t)$ связаны с «левыми образующими» соотношением

H^{'} (t) = H (t)^{*}

$H'(t)=H(t)^*$ . Другими словами, две приведенные выше производные теперь читаются

\begin{aligned} (*) & я \partial_{т} U (т, с) & "=" ЧАС (т) U (т, с) \\ я \partial_{с} U (т, с) & "=" - U (т, с) ЧАС (с)^{*} . \end{aligned}

$\begin{align*}\tag{$*$} i\partial_t U(t,s)&=H(t)U(t,s)\\ i\partial_{s} U(t,s)&=-U(t,s)H(s)^*\; . \end{align*}$

Если мы теперь возьмем двойной сопряженный, то также следует, что каждый оператор $H(t)$ должны быть закрыты (потому что мы получаем $H(t)^{**}=H(t)$ , и что каждое сопряженное плотно определено).

В заключение мы видим, что для существования плотно дифференцируемой унитарной двухпараметрической группы эволюции $\bigl(U(t,t_0)\bigr)_{(t,t_0)\in\mathbb{R}^2}$ необходимо, чтобы существовало семейство замкнутых (плотно определенных) операторов $\bigl(H(t)\bigr)_{t\in\mathbb{R}}$ которые «порождают» группу слева и справа с помощью уравнений ( $*$ ). Это, однако, не дает эрмитовости образующих.

Дифференциация $U(t,s) U(s,t) = I$ в отношении $t$ а затем небольшая перестановка дает вам $\partial_{t}U(t,s) = - U(t,s) \partial_{t}U(s,t) U(t,s)$ . Подставив это в первое уравнение (*), затем умножив обе части на $U(s,t)$ слева и справа, и, наконец, поменяв местами переменные $t$ и $s$ покажи то $H(s) = H(s)^{\ast}$ .

Докажите, что зависящий от времени гамильтониан является эрмитовым из-за унитарности оператора эволюции во времени.

пхен

Ответы (3)

пользователь_35

Хиггсс

юггиб

Хиггсс

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Почему оператор эволюции во времени является унитарным?

Почему амплитуда волновой функции, распространяющейся от qqq к q′q′q', определяется унитарным оператором e−iℏHTe−iℏHTe^{-\frac{i}{\hbar}HT}?

Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора

Откуда берется iii в уравнении Шрёдингера?

Производная унитарного оператора временной эволюции

Полуограниченность операторов Шрёдингера

Как базовые наборы удовлетворяют уравнению Шредингера в картине Шредингера и почему они не меняются со временем?

Оператор упорядочения по времени и производная по времени

Логарифм операторов в квантовой механике