Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Question

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Квантовый шепот

На этом сайте уже есть различные версии этого вопроса, которые пытаются оправдать / сделать правдоподобным то, что временная эволюция квантово-механических наблюдаемых является унитарной. В большинстве этих вопросов уже используются предположения о том, что состояния являются элементами комплексного гильбертова пространства, о линейности эволюции во времени, о собственных векторах эрмитовых операторов, охватывающих это гильбертово пространство, и о том, что квадратичная 2-норма проекции состояния на собственное пространство оператор дает вероятность измерить собственное значение оператора (см., например, этот или этот вопрос).

Обычно ответ на вопрос заключается в том, что эволюция во времени должна сохранять норму данного состояния, потому что мы интерпретируем эту норму как всеобщую вероятность. Ответ также предполагает, что даже если мы отбросим интерпретацию вероятности с квадратом 2-нормы, эта статья показывает, что неунитарность имеет неприятные свойства, такие как сверхлиминальная сигнализация или различимость неортогональных состояний.

Однако - на каждый из этих вопросов (и даже на данную статью) ответы только с точки зрения картины Шредингера:

Я хотел бы знать, можно ли привести подобные рассуждения, если мы с самого начала находимся в картине Гейзенберга (и даже не знаем о существовании картины Шредингера). Было ли что-то подобное когда-либо сформулировано? Или это картина Шрёдингера в этом смысле более общая?

Что я придумал: если я предполагаю (по какой-либо причине), что

\hat{А} (дельта т) "=" {\hat{U}}^{- 1} А (0) \hat{U}

$\hat{A}(\delta t) = \hat{U}^{-1} A(0) \hat{U}$ и

\hat{A} (0)

$\hat{A}(0)$ был обычным оператором, то

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ также должно быть нормальным (потому что я, по крайней мере, хочу

\hat{A} (0)

$\hat{A}(0)$ и

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ охватывать полное гильбертово пространство своими собственными векторами. Это то, что я считаю правдоподобным требованием для операторов, соответствующих наблюдаемым. Если я выберу

\hat{U}

$\hat{U}$ быть унитарным, то

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ является обычным оператором - однако я не знаю, как показать, что это единственный способ для

\hat{A} (δ t)

$\hat{A}(\delta t)$ быть нормальным.

Редактировать: поскольку все аргументы, которые были изложены в ответах, касающихся картины Шредингера, говорят только о закрытых (в отличие от открытых) квантовых системах, я не вижу необходимости говорить о случаях в открытых квантовых системах (или подсистемах), где эволюция времени не обязательно унитарна.

Хиральная аномалия

Если моя интерпретация предложения 2 в Унитарной реализации групп автоморфизмов на алгебрах фон Неймана верна, то 1-параметрическая группа автоморфизмов алгебры фон Неймана на данном гильбертовом пространстве всегда реализуется 1-параметрической группой унитарных преобразований. При этом возникает вопрос: почему эволюция во времени должна задаваться автоморфизмами операторной алгебры (в картине Гейзенберга)?

Квантовый шепот

@ChiralAnomaly Я согласен с вашим выводом, хотя я понятия не имею об алгебрах фон-Неймана и о том, что в них закодировано.

Хиральная аномалия

Алгебра vN — это естественный способ «дополнить» заданный набор наблюдаемых относительно сумм, произведений и пределов. Если

Ω

$\Omega$ представляет собой набор наблюдаемых и

Ω^{'}

$\Omega'$ это множество всех операторов, которые коммутируют со всем в

Ω

$\Omega$ , затем

(Ω^{'})^{'}

$(\Omega')'$ является наименьшей алгеброй vN, содержащей

Ω

$\Omega$ . В общем,

(Ω^{'})^{'}

$(\Omega')'$ не содержит всех операторов гильбертова пространства (поскольку некоторые из них могут коммутировать со всеми наблюдаемыми теории), и я задавался вопросом, может ли он тогда допускать неунитарные группы автоморфизмов с 1 параметром. Теорема, которую я привел, кажется, говорит, что этого не происходит.

Роджер Вадим

Если мы даже не знаем о существовании картины Шредингера , то при чем тут оператор

U (t)

$U(t)$ родом из? Унитарность — это математическое отражение симметрии законов движения с обращением времени. Итак, если мы не хотим привязываться к гильбертовому пространству и т. д., то мы должны говорить не об унитарности , а только об уравнениях движения и их симметрии относительно обращения времени.

Ответы (2)

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Если моя интерпретация предложения 2 в Унитарной реализации групп автоморфизмов на алгебрах фон Неймана верна, то 1-параметрическая группа автоморфизмов алгебры фон Неймана на данном гильбертовом пространстве всегда реализуется 1-параметрической группой унитарных преобразований. При этом возникает вопрос: почему эволюция во времени должна задаваться автоморфизмами операторной алгебры (в картине Гейзенберга)?
@ChiralAnomaly Я согласен с вашим выводом, хотя я понятия не имею об алгебрах фон-Неймана и о том, что в них закодировано.
Алгебра vN — это естественный способ «дополнить» заданный набор наблюдаемых относительно сумм, произведений и пределов. Если $\Omega$ представляет собой набор наблюдаемых и $\Omega'$ это множество всех операторов, которые коммутируют со всем в $\Omega$ , затем $(\Omega')'$ является наименьшей алгеброй vN, содержащей $\Omega$ . В общем, $(\Omega')'$ не содержит всех операторов гильбертова пространства (поскольку некоторые из них могут коммутировать со всеми наблюдаемыми теории), и я задавался вопросом, может ли он тогда допускать неунитарные группы автоморфизмов с 1 параметром. Теорема, которую я привел, кажется, говорит, что этого не происходит.
Если мы даже не знаем о существовании картины Шредингера , то при чем тут оператор $U(t)$ родом из? Унитарность — это математическое отражение симметрии законов движения с обращением времени. Итак, если мы не хотим привязываться к гильбертовому пространству и т. д., то мы должны говорить не об унитарности , а только об уравнениях движения и их симметрии относительно обращения времени.

Вальтер Моретти · Answer 1

Это зависит от гипотез, в частности от набора наблюдаемых, которые вы предполагаете.

Если предположить, что элементарные ДА-НЕТ наблюдаемые (также известные как тесты ) являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве, естественно возникает доказательство.

С этой точки зрения ожидается, что решетчатая структура сохранится в процессе эволюции во времени ввиду ее логической интерпретации.

Другими словами, если $P\in {\cal L}(H)$ является элементарной наблюдаемой, где ${\cal L}(H)$ представляет собой решетку ортогональных проекторов на гильбертовом пространстве $H$ , временная эволюция представляет собой семейство карт

с_{т} : л (ЧАС) ∋ п \mapsto с_{т} (п) е л (ЧАС),

$s_t : {\cal L}(H) \ni P \mapsto s_t(P) \in {\cal L}(H)\:,$ для

t \in R

$t\in \mathbb R$ удовлетворяющие некоторым свойствам. Эти свойства естественны для изолированных (замкнутых) систем или систем, развивающихся в стационарной среде:

(1) Он должен быть биективным (ожидается, что временная эволюция будет биективной для закрытых систем в стационарной среде).

(2) Он должен сохранять структуру решетки с ортодополнениями (как уже было сказано, эволюция во времени сохраняет логические отношения).

(3) Он должен быть аддитивным $s_t s_u = s_{t+u}$ (стационарная среда).

Если принять техническую гипотезу о том, что $H$ является

(4) разделяемый по размеру $>2$ ,

то из теорем Глисона и Кэдисона следует, что для каждого $t\in \mathbb R$ есть унитарная или антиунитарная карта $U_t : H \to H$ , определенные с точностью до мультипликативных фаз в зависимости от $t$ , такой, что

с_{т} (п) "=" U_{т} п U_{т}^{- 1} .

$s_t(P) = U_t P U_t^{-1}\:.$ Кроме того, нетрудно доказать, что (3) дает

U_{t} U_{u} = χ (t, u) U_{t + u}

$U_tU_u = \chi(t,u) U_{t+u}$ где

χ (t, u) \in C

$\chi(t,u) \in \mathbb{C}$ с

| χ (t, u) | = 1

$|\chi(t,u)|=1$ . Следовательно

χ (t / 2, t / 2)^{- 1} U_{t / 2} U_{t / 2} = U_{t}

$\chi(t/2,t/2)^{-1} U_{t/2}U_{t/2} = U_{t}$ . От этого мы имеем то

U_{t}

$U_t$ должен быть унитарным.

До сих пор мы получили, что $\mathbb{R} \ni t \mapsto U_t$ является унитарно-проективным представлением абелевой группы Ли $\mathbb{R}$ .

Предположим еще одну гипотезу непрерывности (ее можно обосновать, утверждая, что ожидаемые значения наблюдаемых постоянно изменяются во времени для любого квантового состояния [= вероятностная мера на решетке элементарных наблюдаемых])

(5) $\mathbb{R} \ni t \mapsto |\langle \psi, U_t \phi\rangle|$ непрерывен для каждого $\psi, \phi \in H$ .

Теорема Баргмана (использующая тот факт, что $\mathbb R$ имеет тривиальные когомологии как группа Ли) следует, что можно менять фазы $U_t$ , т.е. замена $U_t$ для $V_t := \chi(t) U_t$ и подходящие фазы $\chi(t)$ , чтобы

р ∋ т \mapsto В_{т}

$\mathbb{R} \ni t \mapsto V_t$ является унитарным, сильно непрерывным представлением

R

$\mathbb{R}$ .

Другими словами $\mathbb{R} \ni t \mapsto V_t\psi$ непрерывен для каждого $\psi \in H$ , $V_tV_u = V_{t+u}$ , $V_0=I$ и каждый $V_t : H \to H$ является унитарным.

По конструкции,

с_{т} (п) "=" В_{т} п В_{т}^{- 1}

$s_t(P) = V_t P V_t^{-1}$ Спектральным разложением, если

A^{*} = A = \int_{R} λ d P_{λ}^{(A)}

$A^* = A = \int_\mathbb{R} \lambda dP^{(A)}_\lambda$ вышеуказанное действие распространяется на общие наблюдаемые:

с_{т} (А) "=" \int_{р} λ д п_{λ}^{(В_{т} А В_{т}^{- 1})} "=" В_{т} А В_{т}^{- 1} .

$s_t(A) := \int_\mathbb{R} \lambda dP^{(V_tAV_t^{-1})}_\lambda = V_t A V_t^{-1}\:.$

Сильная непрерывность означает, что существует единственная наблюдаемая $H$ , такой, что $V_t = e^{itH}$ «обнаружение» картины Гейзенберга.

Ключевое предположение здесь состоит в том, что множество элементарных предложений состоит из всего семейства ортогональных проекторов. Это эквивалентно требованию, чтобы алгебра наблюдаемых фон Неймана состояла из всех (ограниченных) самосопряженных операторов на $H$ . Мы знаем, что эта гипотеза физически несостоятельна (например, при наличии правил суперотбора или калибровочной группы). В этом случае приведенное выше доказательство не выполняется. Однако результат может быть верным в любом случае в зависимости от дальнейших гипотез, которые человек принимает.

Как бы здесь сыграла калибровочная группа? Не потому ли, что два эквивалентных калибровочных проектора дадут один и тот же результат для любой наблюдаемой? И как тут сохранить унитарность?

тпаркер · Answer 2

Да, неунитарная эволюция во времени открытой квантовой системы по Линдбладу может быть сформулирована на картинке Гейзенберга: https://en.wikipedia.org/wiki/Lindbladian#Heisenberg_picture .

Честно говоря, я не понимаю, как это отвечает на мой вопрос.

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Квантовый шепот

Хиральная аномалия

Квантовый шепот

Хиральная аномалия

Роджер Вадим

Ответы (2)

Вальтер Моретти

Квантовый шепот

тпаркер

Квантовый шепот

Можно ли любой линейный, но неунитарный «оператор эволюции времени» нормализовать до унитарного?

Возможна ли непрерывная эволюция от одного собственного состояния ООО оператора к другому ООО-собственному состоянию?

Квантово-механические операторы в аргументе экспоненты

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Почему преобразования симметрии, связанные с тождеством, обязательно представляются линейными унитарными операторами?

Запрещает ли теорема Хаага эволюцию во времени?

Почему два разных квантовых состояния не могут эволюционировать в одно и то же конечное состояние?

Унитарное условие времени

Амплитуда вероятности движения от xixix_i до xfxfx_f на картинке Гейзенберга

Путаница в интерпретации значений ожидания в квантовой механике