Как базовые наборы удовлетворяют уравнению Шредингера в картине Шредингера и почему они не меняются со временем?

Поскольку базовые наборы не развиваются со временем$|a',t\rangle=|a'\rangle$

Это неправильное прочтение этого утверждения. Когда мы говорим, что собственный энергетический базис независимого от времени гамильтониана не эволюционирует со временем, мы имеем в виду, что если$H|E\rangle = E|E\rangle$затем

$$|\Psi_E(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}|E\rangle$$ является решением уравнения Шредингера, которое начинается с$|\Psi_E(0)\rangle = |E\rangle$и который поддерживает единичный внутренний продукт с его начальным состоянием, $$|\langle \Psi(0)|\Psi(t)\rangle| = |\langle E |\Psi(t)\rangle| = 1.$$ Фазовый фактор$e^{-iEt/\hbar}$абсолютно необходимо для выполнения уравнения Шредингера. С другой стороны, в любой момент времени$t$он действует как глобальный фазовый фактор, который не имеет отношения ни к какой физической наблюдаемой, поэтому справедливо сказать, что базовый набор не эволюционирует «на самом деле» со временем.

---

Что касается вашего второго вопроса, ваши первоначальные манипуляции верны, и их лучше всего понять в форме

$$A\ U|a\rangle = U\ A|a\rangle = U\ a|a\rangle = a\ U|a\rangle$$ (где я опустил простые числа, чтобы$A|a\rangle = a|a\rangle$, потому что ваш не имел никакого смысла). Другими словами, если вы начинаете с собственного вектора$|a\rangle$из$A$с собственным значением$a$и$A$коммутирует с$H$, то эволюционировавшее во времени состояние$U(t)|a\rangle$всегда будет собственным состоянием$A$.

Теперь, если вы знаете, что$A$является невырожденным на этом собственном пространстве, то эта комбинация позволяет вам заключить, что$|a\rangle$также является собственным состоянием$H$и время эволюция будет держать$U(t)|a\rangle$как кратное$|a\rangle$.

С другой стороны, вполне возможно,$A$иметь вырожденное собственное пространство, и в этом случае$U(t)|a\rangle$может иметь нетривиальную зависимость от времени. Если вам нужен явный пример, попробуйте

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \text{under} \ H = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ с$|a\rangle = (1,0,0)$.

Только кеты, представляющие физические системы («векторы состояния»), удовлетворяют уравнению Шредингера. Базискеты представляют не физические системы, а просто систему координат, так что они ими не являются.

Ваш вопрос аналогичен вопросу, почему координаты случайной точки в пространстве не удовлетворяют уравнениям Гамильтона или Эйлера-Лагранжа. Там просто нечего эволюционировать во времени.

Это правда, что кеты не развиваются со временем (кеты не являются функциями времени). Однако вектор состояния $|\psi(t)\rangle$действительно развивается со временем (поскольку мы находимся в картине Шредингера).

То есть, я думаю, вы не можете различить собственный код$|a'\rangle$оператора$A$и вектор состояния$|\psi(t)\rangle$которая является кетзначной функцией времени, удовлетворяющей уравнению Шредингера.

Предполагая, что гамильтониан$H$не зависит от времени и что вектор состояния в момент времени$t = 0$это кет$|\psi_0\rangle$, вектор состояния в любой другой момент времени$t$дан кем-то

$$|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\hbar}H}|\psi_0\rangle = |\psi_0\rangle - \frac{it}{\hbar}H|\psi_0\rangle + \cdots$$

Так как, в общем,$H|\psi_0\rangle$не пропорциональна$|\psi_0\rangle$, вектор состояния во времени$t \ne 0$находится в другом луче, чем$|\psi_0\rangle$. Однако , в случае, если$H|\psi_0\rangle = E|\psi_0\rangle$, у нас есть

$$|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{it}{\hbar}H}|\psi_0\rangle = e^{-\frac{iEt}{\hbar}}|\psi_0\rangle$$

и поэтому вектор состояния остается в начальном луче (поскольку состояния являются лучами , все$e^{i\theta}|\psi_0\rangle$представляют одно и то же государство).

Подводя итог, если$|\psi_0\rangle = |a'\rangle$тогда, если только$A$коммутирует с$H$, вектор состояния$|\psi(t)\rangle$со временем эволюционирует в кет другого луча. Снова,$H$не развивает кет$|a'\rangle$скорее,$H$развивает вектор состояния$|\psi(t)\rangle$

Я думаю, что в том, что вы написали, много путаницы. Уравнению Шрёдингера удовлетворяют, конечно, не сами собственные схемы, а коэффициенты разложения любого состояния, разложенного на основе собственных сетей. Собственные наборы определяются как независимые от времени именно потому, что для общего состояния временная зависимость каждого коэффициента разложения на основе собственного набора действительно проста. Чтобы было понятно, для любого состояния$|\psi\rangle$, возьмем полный набор собственных схем$(|a_1\rangle,|a_2\rangle,|a_3\rangle,...)$, то состояние$|\psi\rangle$можно выразить как:

$$|\psi\rangle=\sum_n c_n(t)*|a_n\rangle$$

Так$|\psi\rangle$на самом деле$|\psi(t)\rangle$, и удовлетворяет уравнению Шредингера. Итак, если$|a_n\rangle$являются собственными цепями гамильтониана, то зависимость коэффициентов разложения от времени является обычной$e^{-i\frac {E_n}{\hbar}t}$, а расширение состояния просто:

$$|\psi(t)\rangle=\sum_n c_n(0)*e^{-i\frac {E_n}{\hbar}t}*|a_n\rangle$$