Может ли уравнение Шрёдингера второго порядка сохранять норму?

Нет, норма не сохранилась бы. Для простоты предположим, что гамильтониан не зависит от времени с дискретными (но, возможно, вырожденными) собственными значениями$E_n$. Тогда у нас есть

$$\begin{align*} |\psi(t)\rangle &= \sum_n c_n(t)\, |E_n\rangle \\ i \hbar \partial_t^2 |\psi(t)\rangle &= H |\psi(t)\rangle \\ i \hbar \sum_n \ddot{c}_n(t)\, |E_n\rangle &= \sum_n c_n(t)\, E_n |E_n\rangle \\ \sum_n (i \hbar \ddot{c}_n(t)- c_n(t)\, E_n) |E_n\rangle &= 0 \\ \ddot{c}_n(t) + \frac{i}{\hbar} E_n c_n(t) &= 0 \\ c_n(t) &= \exp \left( \sqrt{-\frac{i E_n}{\hbar}} t \right) = \exp \left( \sqrt{\frac{E_n}{\hbar}} e^{-\frac{i \pi}{4}} t \right) \\ |c_n(t)|^2 &= c_n(t)\, c_n^*(t) = \exp \left( \sqrt{\frac{2 E_n}{\hbar}} t \right) \end{align*}$$

и$|\psi(t)|^2$экспоненциально растет с течением времени. Проблема в том, что$e^{-i E_n / \hbar}$эволюционирует с сохранением нормы с течением времени, но вторая производная вводит квадратный корень, который превращает чисто мнимый показатель степени в действительную часть, что все портит.

Но предложенная вами модификация все равно не является физически естественной. Во-первых, обратите внимание, что ваш "$\hbar$" имеет другие единицы, чем физические. Вместо того, чтобы оставить$i\hbar$как есть, но изменив$\partial_t$к$\partial_t^2$, более естественной модификацией уравнения Шредингера, делающей его вторым порядком, является «возведение в квадрат» операторов с обеих сторон, т. е. замена$i \hbar \partial_t$к$(i \hbar \partial_t)^2 = -\hbar^2 \partial_t^2$и$H$к$H^2$, получить

$$-\hbar^2 \partial_t^2 |\psi(t)\rangle = H^2 |\psi(t)\rangle.$$ В случае гамильтониана $H^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$для релятивистской частицы это известно как уравнение Клейна-Гордона, и хотя оно имеет ту же проблему непостоянной нормы, оказывается, что оно точно описывает временную эволюцию скалярного релятивистского квантового поля (а не частицы, как можно было бы предположить ) . ожидать).

Ответ на ваш вопрос заключается в том, что для общих начальных условий ответ отрицательный. Ниже я приведу явный контрпример.

Во-первых, мы живем во Вселенной, где уравнения Шредингера можно записать как уравнение второго порядка: просто примените$- \mathrm{i} \partial_t$к уравнению (первого порядка) Шредингера

$$\begin{align} \mathrm{i} \partial_t \psi(t) = H \psi(t) , && \psi(0) = \phi \in \mathcal{H} , \label{Schroedinger_equantion} \end{align}$$ и получим волновое уравнение второго порядка $$\begin{align} \partial_t^2 \psi(t) = - H^2 \psi(t) , \label{wave_equation} \end{align}$$ с начальными условиями $$\begin{align*} \psi(0) = \phi , \; \partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi . \end{align*}$$ Обратите внимание, что в качестве уравнения второго порядка вам нужно указать не просто $\psi(0)$но и его производная по времени в качестве начального условия. Кроме того, чтобы гарантировать, что то, что вы получите, на самом деле эквивалентно уравнению Шредингера, вам нужно выбрать \emph{конкретное} начальное условие для $\partial_t \psi(0) = - \mathrm{i} H \phi$. Другие варианты дадут вам другие уравнения, но ни одно из них не эквивалентно.

Как видите, если выбрать начальное условие, совместимое с уравнением Шредингера, решения будут иметь обычные свойства, например, норму$\lVert \psi(t) \rVert = \lVert \psi(0) \rVert$. Но для общего выбора это не обязательно так: выберите$H = \sigma_3$так что$H^2 = \mathbb{1}$. Тогда волновое уравнение просто

$$\begin{align*} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{matrix} \right ) + \left ( \begin{matrix} \psi_1(t) \\ \psi_2(t) \\ \end{matrix} \right ) = 0 , \end{align*}$$ две копии обычного волнового уравнения. Решения $$\begin{align*} \psi(t) = c_- \, \mathrm{e}^{- \mathrm{i} t} + c_+ \, \mathrm{e}^{+ \mathrm{i} t} \end{align*}$$ где коэффициенты $c_{\pm} \in \mathbb{C}^2$необходимо определить из начальных условий. Теперь выберите $\psi(0) = c_+ + c_- = (2,2)$и $\partial_t \psi(0) = (0,0) = \mathrm{i} (c_+ - c_-)$как начальные условия. Это приводит к $c_- = c_+ = 1$, и поэтому $$\begin{align*} \psi(t) = 2 \cos t \, \left ( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right ) , \end{align*}$$ и норма $\lVert \psi(t) \rvert = 2 \sqrt{2} \, |\cos t|$этого вектора, очевидно, осциллирует во времени и поэтому не сохраняется. Для особого начального условия $\partial_t \psi(0) = - \ii H \psi(0)$, но норма сохраняется.

Позвольте мне собрать мои комментарии выше, чтобы сообщение «иногда, но не всегда» не потерялось.

Обычный аргумент в пользу обычного уравнения Шра с эрмитовым, не зависящим от времени$\mathbb{K}$,

$$i\hbar\partial_t \langle \varphi|\varphi\rangle = \langle \varphi|\mathbb{K}- \mathbb{K}^\dagger|\varphi\rangle=0 ,$$ якобы теряется, так как вы получаете только $$i\hbar\partial_t (\langle \varphi|\dot \varphi\rangle -\langle \dot \varphi|\varphi\rangle)= \langle \varphi|\mathbb{H}+ \mathbb{H}^\dagger|\varphi\rangle$$ таким образом — интегрирование по частям. Так, для антиэрмитов $\mathbb{H}$, вы получаете сохраняющееся количество, но это не норма.

Тем не менее, ядро$(iℏ∂_t−\mathbb{K})$также будет в ядре$(iℏ∂^2_t−\mathbb{K}^2/iℏ)$, т. е. инвариантные нормальные решения уравнения Шра для$\mathbb{K}$также решит ваше уравнение с$\mathbb{H}=−i\mathbb{K}^2/ℏ$, у которого тоже, естественно, будут "плохие" решения.

Вы можете проиллюстрировать это схематически (оставив в стороне вопросы определения нормы - вы можете тривиально модулировать свой ответ с помощью пространственных фильтров Гаусса) на самом тривиальном примере,$\mathbb{K}=ℏω$, следовательно$\mathbb{H}=−iℏω^2$, где вы получаете колебательные решения$\exp(±iωt)$сохранение нормы; а их тригонометрические комбинации,$\cos(ωt), ~\sin(ωt)$, естественно, нет.