Как согласовать два разных вывода независимого от времени уравнения Шрёдингера?

Question

Как согласовать два разных вывода независимого от времени уравнения Шрёдингера?

Жан

С одной стороны, используя спектральное разложение оператора Гамильтона $H$ , предполагаемый эрмитовым оператором, относительно просто вывести уравнение $U(t) = \sum |v_j\rangle\langle v_j| e^{-i \lambda_j t / \hslash}$ , где $\lambda_j$ является собственным значением и $|v_j\rangle$ является соответствующим собственным вектором - при условии дискретного разложения и невырожденного случая.

С другой стороны, используя матричную экспоненту и решая линейное дифференциальное уравнение в частных производных, $U(t) = e^{-i H t / \hslash}$ . Предполагая, что гамильтониан является эрмитовым оператором, определенным над конечномерным гильбертовым пространством $\mathcal{H}_n$ , оператор ограничен и матричная экспонента сходится.

Я пытаюсь примирить оба уравнения. Подключаем спектральное разложение $H$ во втором уравнении, похоже, не дает мне первое.

По симметрии

Не могли бы вы рассказать о возникшей у вас трудности? Правая часть первого уравнения часто используется как определение матричной экспоненты во втором, поэтому именно то, какие определения вы используете и какой именно подход вы используете, имеет значение для нас, чтобы мы могли помочь.

Жан

Определение матричного возведения в степень, которое я использовал, просто

e^{M} = \sum_{i}^{\infty} \frac{M^{i}}{i!}

$e^M = \sum_i^\infty \frac{M^i}{i!}$ . Ответ ниже был просто в порядке. Так просто! Я бы сам нашел :-(

Ответы (1)

Как согласовать два разных вывода независимого от времени уравнения Шрёдингера?

Не могли бы вы рассказать о возникшей у вас трудности? Правая часть первого уравнения часто используется как определение матричной экспоненты во втором, поэтому именно то, какие определения вы используете и какой именно подход вы используете, имеет значение для нас, чтобы мы могли помочь.
Определение матричного возведения в степень, которое я использовал, просто $e^M = \sum_i^\infty \frac{M^i}{i!}$ . Ответ ниже был просто в порядке. Так просто! Я бы сам нашел :-(

РастворимаяРыба · Answer 1

С $H|v_j\rangle =\lambda_j |v_j\rangle$ , у вас есть :

{ЧАС}^{н} | в_{Дж} ⟩ "=" λ^{н} | в_{Дж} ⟩ и поэтому е^{α ЧАС} | в_{Дж} ⟩ "=" е^{α λ_{Дж}} | в_{Дж} ⟩

$H^n|v_j\rangle = \lambda^n|v_j\rangle \qquad \text{and therefore}\qquad e^{\alpha H}|v_j\rangle = e^{\alpha\lambda_j}|v_j\rangle$

Кроме того, спектральная теорема гарантирует, что $|v_j\rangle$ можно принять за ортонормированный базис и, следовательно:

1 "=" \sum_{Дж} | в_{Дж} ⟩ ⟨ в_{Дж} |

$1 = \sum_j |v_j\rangle \langle v_j|$

Следовательно, у вас есть:

\begin{aligned} U (т) & "=" е^{- я ЧАС т / ℏ} \\ "=" \sum_{Дж} е^{- я ЧАС т / ℏ} | в_{Дж} ⟩ ⟨ в_{Дж} | \\ "=" \sum_{Дж} е^{- я λ_{Дж} т / ℏ} | в_{Дж} ⟩ ⟨ в_{Дж} | \end{aligned}

$\begin{align} U(t) &= e^{-iHt/\hbar} \\ &= \sum_j e^{-iHt/\hbar} |v_j\rangle\langle v_j| \\ &= \sum_j e^{-i\lambda_j t/\hbar}|v_j\rangle\langle v_j| \end{align}$

Как согласовать два разных вывода независимого от времени уравнения Шрёдингера?

Жан

По симметрии

Жан

Ответы (1)

РастворимаяРыба

Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Эволюция времени в абстрактном пространстве состояний квантовой механики

Уравнение Шредингера для зависящего от времени гамильтониана и сопряжения

Почему оператор эволюции во времени является унитарным?

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора

Что такое «картинка» в квантовой механике?

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Как базовые наборы удовлетворяют уравнению Шредингера в картине Шредингера и почему они не меняются со временем?