Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Question

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Потерянный

На вводных страницах книги Гриффита по квантовой механике он говорит:

Но подождите минутку! Предположим, я нормализовал волновую функцию во времени $t=0$ . Откуда мне знать, что с течением времени он останется в норме ? $\Psi$ развивается?

Затем он продолжает показывать, что

(1) \frac{г}{г т} (\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} г Икс) "=" 0

$(1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{d}{dt}\ (\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx)=0$

От $(1)$ , он утверждает, что если

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т "=" 0) |^{2} г Икс "=" 1

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t=0)|^2 dx=1$ затем,

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} г Икс "=" 1

$\ \ \ \ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx=1$

Так что в основном, чтобы доказать, что $\Psi(x,t)$ нормализуется, он использует $(1)$ но чтобы доказать $(1)$ он сдерживает $\Psi(x,t)$ нормализовать , сказав, что

\frac{г}{г т} (\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} г Икс) "=" \frac{я ℏ}{2 м} | (Ψ^{*} \frac{\partial Ψ (Икс, т)}{\partial Икс} - Ψ \frac{\partial Ψ^{*} (Икс, т)}{\partial Икс}) |_{- \infty}^{\infty} "=" 0

$\frac{d}{dt}\ (\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx)=\frac{i\hbar}{2m}\bigg|\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*(x,t)}{\partial x}\bigg)\bigg|_{-\infty}^{\infty}=0$
Для приведенного выше равенства он утверждает:

Но $\Psi(x,t)$ должен стремиться к нулю, когда x переходит к ( $+$ или $-$ ) бесконечности, иначе волновая функция не была бы нормируемой.

Запись всего точного вывода занимает много времени, поэтому вместо этого я резюмировал основные проблемы, приведенные выше, и приложил четкую, наглядную картину его доказательства здесь ниже:

У меня есть проблемы с обоснованием [1.26].

Мне кажется, что это круговое доказательство, поскольку для того, чтобы заставить $\Psi(x,t)$ (которая является волновой функцией в любой произвольный момент времени ) должна стремиться к нулю, как $x$ уходит в бесконечность, мы должны предположить, что $\Psi(x,t)$ должны быть нормализованы, что мы и пытаемся доказать!

Является ли это доказательство свободным или я упускаю/не понимаю что-то очевидное?

Любопытный Разум

Пожалуйста, не размещайте изображения текстов, которые вы хотите процитировать , а вместо этого напечатайте их, чтобы они были читаемы для всех пользователей и чтобы поисковые системы могли их индексировать. Для формул используйте вместо этого MathJax . Обратите внимание, что ваше резюме на самом деле не помогает людям, которые не могут видеть изображение, потому что вы ссылаетесь на [1.26] в своем фактическом вопросе, и единственное место, где этот идентификатор появляется, находится на изображении.

Любопытный Разум

См . физику.stackexchange.com/ q/382324/50583 для обсуждения понятия, что «волновые функции должны обращаться в нуль на бесконечности».

Ответы (1)

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Пожалуйста, не размещайте изображения текстов, которые вы хотите процитировать , а вместо этого напечатайте их, чтобы они были читаемы для всех пользователей и чтобы поисковые системы могли их индексировать. Для формул используйте вместо этого MathJax . Обратите внимание, что ваше резюме на самом деле не помогает людям, которые не могут видеть изображение, потому что вы ссылаетесь на [1.26] в своем фактическом вопросе, и единственное место, где этот идентификатор появляется, находится на изображении.
См . физику.stackexchange.com/ q/382324/50583 для обсуждения понятия, что «волновые функции должны обращаться в нуль на бесконечности».

Солнечная вспышка0 · Answer 1

Солнечная вспышка0

Он не говорит, что $\Psi(x, t)$ необходимо нормализовать; он говорит, что это должно быть нормализуемо , что означает, что

\int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (Икс, т) |^{2} г т < \infty .

$\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2\text{d}t < \infty.$

Легко понять, почему $\Psi(x, t)$ должен быть нормализуем. Предполагается, что волновая функция нормирована при $t = 0$ , и, поскольку волновая функция непрерывно эволюционирует по уравнению Шредингера, отсюда следует, что волновая функция должна иметь конечную норму для всех $t > 0$ , что по определению означает выполнение приведенного выше уравнения. Именно из нормализуемости Гриффитс утверждает, что волновая функция должна исчезать в бесконечности (хотя, как упоминалось в комментариях к вашему вопросу, волновые функции не обязательно должны исчезать в бесконечности, чтобы быть нормализуемыми).

Солнечная вспышка0

Из «волновая функция исчезает на бесконечности» он утверждает, что она нормализована , а не нормализуема.

Потерянный

О верно! Ошеломляющее упущение.

тпаркер

Непрерывности недостаточно, чтобы гарантировать, что нормализуемая волновая функция останется такой. Рассмотрим предполагаемую волновую функцию

ψ (x, t) \propto (1 + (κ x)^{2})^{t / T}

$\psi(x,t) \propto (1 + (\kappa x)^2)^{t/T}$ . Это нормализуется до времени

t = T / 4

$t = T/4$ но потом перестает быть таковым. Доказательство Гриффитса не совсем надежно.

тпаркер

Извините, показатель степени должен иметь знак минус.

Потерянный

@tparker Насколько я вижу, здесь есть две вещи: (1) нормализуемость : D..J. начинается с нормализуемой волновой функции и предполагает, что она будет такой во все последующие моменты времени. ..(2) Нормализован или нет? : DJ начинает с нормализованной волновой функции и с помощью (1) показывает, что она остается нормализованной для всех последующих моментов времени.

Потерянный

@tparker Кажется, вы возражаете против предположения в (1). Мой вопрос был просто глупым упущением слов, на который здесь был удовлетворительно дан ответ, но теперь, из вашего комментария, выясняется, что на самом деле DJ использует неоправданное предположение. Большое спасибо, что указали на это.

Потерянный

@tparker Я предполагаю, что обычно при выполнении QM мы редко сталкиваемся с волновыми функциями, которые вы упомянули (?), Но допускает ли формализм QM такие волновые функции?

Потерянный

@tparker Если мы рассмотрим статистическую интерпретацию волновой функции Борном, тогда необходима нормализуемая волновая функция.

тпаркер

@Lost Да, как вы говорите, Гриффитс доказывает, что если волновая функция остается нормализуемой с течением времени, то она также остается нормализованной . Но на самом деле он не доказывает, что она остается способной к нормализации с течением времени.

тпаркер

@Lost Но оказывается, что это всегда так, поэтому волновая функция действительно всегда остается нормализованной. Техническая причина этого, которая, к сожалению, может быть слишком сложной для тех, кто только начинает заниматься КМ, заключается в том, что гамильтониан является эрмитовым оператором. Этот факт и уравнение Шредингера вместе подразумевают, что оператор эволюции во времени является унитарным, что означает, что состояния остаются нормированными во времени. На самом деле вы можете доказать это, используя только тот факт, что гамильтониан является эрмитовым оператором, который предполагает любые подробности о его конкретной форме. Но это

тпаркер

требует несколько абстрактных понятий, таких как формализм вектора состояния QM. Это не так уж сложно, так как требует небольшой настройки, с которой вы, вероятно, скоро справитесь, если еще этого не сделали.

Потерянный

@tparker Спасибо. Я читал об упомянутом вами выводе, и теперь ясно, как состояние остается нормализованным из-за SE и эрмитовости гамильтониана. Я хотел прояснить одну вещь: а как насчет нормализуемости сейчас ? И волновая функция, которую вы упомянули... допустима ли она в КМ? Он явно перестает быть частью

L_{2}

$L_2$ через определенное время, как вы упомянули.

Является ли это доказательством водонепроницаемости Гриффита? [дубликат]

Потерянный

Любопытный Разум

Любопытный Разум

Ответы (1)

Солнечная вспышка0

Солнечная вспышка0

Потерянный

тпаркер

тпаркер

Потерянный

Потерянный

Потерянный

Потерянный

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Потерянный

Возможная ошибка в предположении - Квантовая механика Гриффитса

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Эволюция времени в абстрактном пространстве состояний квантовой механики

Полнота собственных функций энергии

Связь уравнения Шрёдингера, унитарности и сохранения норм состояний во временной эволюции

Кто занимается нормализацией волновой функции во временной эволюции волновой функции?

Гильбертово пространство в представлении Дирака