Коммутатор калибровочных преобразований для теории Янга-Миллса

Следуя соглашениям «Квантовой теории поля и стандартной модели» Шварца, мы имеем, что для теории Янга-Миллса бесконечно малое калибровочное преобразование действует как

$$\delta_{\alpha} A = d\alpha - i\left[A, \alpha\right].$$

Я пытаюсь вычислить коммутатор двух калибровочных преобразований, которые я ожидаю дать

$$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = i\delta_{\left[\alpha, \beta\right]}A.$$

Однако это не то, что я нахожу. Проведя вычисления, я обнаружил, что

$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = \delta_{\alpha}\delta_{\beta}A - \delta_{\beta}\delta{_\alpha}A = \delta_{\alpha}\left(d\beta - i\left[A, \beta\right]\right) - \delta_{\beta}\left(d\alpha - i\left[A, \alpha\right]\right) = d\alpha - i\left[d\beta - i\left[A, \beta\right], \alpha \right] - d\beta + i\left[d\alpha - i\left[A, \alpha\right],\beta\right] = d\alpha -d\beta - i\left[ d\beta, \alpha\right] - \left[\left[A,\beta\right],\alpha\right] + i\left[d\alpha, \beta\right] + \left[ \left[A,\alpha\right], \beta \right]$

Некоторые коммутаторы можно упростить, если понять, что

$\left[d\alpha, \beta\right] - \left[d\beta, \alpha\right] = d\alpha\beta - \beta d\alpha - d\beta \alpha + \alpha d\beta = d\left(\alpha\beta\right) - d\left(\beta\alpha\right) = d\left[\alpha, \beta\right]$.

Мы также можем использовать тождество Якоби, чтобы увидеть, что

$\left[\left[A,\alpha\right], \beta\right] - \left[\left[A, \beta\right], \alpha\right] = \left[\left[A,\alpha\right], \beta\right] + \left[\left[\beta, A\right], \alpha\right] = -\left[\left[\alpha, \beta\right], A\right]$.

Собрав все вместе, мы имеем это

$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = d\alpha - d\beta + id\left[\alpha, \beta\right] + \left[A, \left[\alpha, \beta\right]\right] = i\delta_{\left[\alpha, \beta\right]}A + d\alpha - d\beta$.

Мой вопрос в том, почему дополнительный$d\alpha - d\beta$появился? Я неправильно выполняю какой-то шаг в вычислениях или что-то упускаю концептуально? Проверяя, я также вычислил коммутатор, начав с тождества

$e^{i\delta_{\alpha}}e^{i\delta_{\beta}}e^{-i\delta_{\alpha}}e^{-i\delta_{\beta}}A = (1 - \left[\delta_{\alpha}, \delta_{\beta}\right])A + \mathcal{O}(\alpha^2)$.

Здесь я применил конечные калибровочные преобразования в левой части, разложенные до второго порядка в$\alpha$и$\beta$, и сопоставил термины с правой частью. После этого я нашел$\left[\delta_{\alpha},\delta_{\beta}\right]A = i\delta_{\left[\alpha, \beta\right]}A$, как и ожидалось, поэтому я вполне уверен, что дополнительные$d\alpha - d\beta$членов не должно быть, но я не понимаю, в чем моя ошибка, когда я начинаю с бесконечно малого случая.