Свойства преобразования калибровочного поля

Я немного запутался в свойствах калибровочного преобразования неабелевых калибровочных полей, и я просто хотел получить некоторые пояснения. Я постоянно встречаю утверждение, что «калибровочные поля преобразуются в присоединенном представлении», но у меня есть сомнения.

Если у нас есть теория с калибровочной симметрией, соответствующая некоторой простой компактной группе Ли$G$, то определим калибровочно-ковариантную производную$D_\mu$как:

$$D_\mu\equiv\partial_\mu-igA_\mu^aT^a$$

Где$T^a\in\mathfrak{g}$составляют основу алгебры Ли$\mathfrak{g}$из$G$. Это определение не предполагает никакого представления$T^a$, так как это определяется представлением поля, на котором$D_\mu$действует. Т.е. если бы у нас было поле$\psi$которое преобразуется в некотором представлении$\Pi$простой компактной группы Ли$G$,$\psi\mapsto\Pi(g)\psi$, то мы бы имели:

$$D_\mu\psi=\big(\partial_\mu-igA^a_\mu \pi(T^a)\big)\psi$$

Где$\pi(T^a)$является соответствующим представлением$\mathfrak{g}$что индуцирует представление$\Pi(g)$после возведения в степень. В этом случае мы требуем, чтобы калибровочно-ковариантная производная обладала теми же свойствами калибровочного преобразования, что и$\psi$, а именно$D_\mu\psi\mapsto\Pi(g)D_\mu\psi$для некоторых$g\in G$. Это означает, что мы должны иметь:

$$D_\mu\mapsto\Pi(g)D_\mu\Pi^{-1}(g)$$

Вопрос 1) Я знаю, что объекты, преобразующиеся в присоединенном представлении, преобразуются как$x\mapsto gxg^{-1}$. Это, очевидно, очень похоже на это выражение, но я не думаю, что это одно и то же. Поэтому правильно ли в данном случае говорить, что$D_\mu$преобразуется в присоединенном представлении, а точнее, что оно преобразуется «присоединенно» в$\psi$?

Из выражения$D_\mu\mapsto \Pi(g)D_\mu \Pi^{-1}(g)$мы нашли:

$$A^a_\mu\pi(T^a)\mapsto \Pi(g)\Big(A^a_\mu\pi(T^a)+\frac{i}{g}\partial_\mu\Big)\Pi^{-1}(g)$$

Если мы рассмотрим$\Pi(g)=\exp\Big(i\alpha^a(x)\pi(T^a)\Big)$, то для бесконечно малого преобразования мы можем разложить до первого порядка по$\alpha$найти:

$$A^a_\mu\mapsto f^{abc}A^b_\mu\alpha^c+\frac{1}{g}\partial_\mu\alpha^a$$

Первый член в этом выражении напоминает присоединенное представление алгебры Ли, поэтому вопрос 2) это то, что люди имеют в виду, когда говорят, что калибровочное поле преобразуется в присоединенное?

Извините, если есть какие-либо ошибки или вопиющие недоразумения, я просто пытаюсь разобраться в терминологии (и, возможно, в математике, кто знает).