Фермионная скобка Пуассона

Question

Фермионная скобка Пуассона

Физика
фермионы
скобки Пуассона
ограниченная динамика
гамильтоновский формализм
классическая теория поля

СКФТ

Я хотел бы понять скобку Пуассона для фермионов в классической теории поля, определенных на цилиндре (с координатами $(t,x)$ , $x$ являющееся компактным направлением) и распространяющееся по $T^n$ с постоянной метрикой $G_{ij}$ (хотя $T^n$ вероятно, это не важно для обсуждения здесь).

Действие

С "=" \frac{я}{4 π} \int г т г Икс г_{я Дж} [ψ^{я} (\partial_{т} + \partial_{Икс}) ψ^{Дж} + {\bar{ψ}}^{я} (\partial_{т} - \partial_{Икс}) {\bar{ψ}}^{Дж}] .

$S = \frac{i}{4\pi}\int dt dx \,\,G_{ij} \left[ \psi^i(\partial_t + \partial_x)\psi^j + \bar{\psi}^i(\partial_t - \partial_x)\bar{\psi}^j\right] .$

Как я могу дать отсюда общее определение скобки Пуассона? Некоторые ограничения на это должны быть следующими:

Он должен быть симметричным (поскольку в бозонном случае он антисимметричен).
Я должен быть в состоянии восстановить стандартное отношение
${ψ^{я} (т, Икс), ψ^{Дж} (т, {Икс}^{'})}_{п Б} "=" - 2 π я г^{я Дж} дельта (Икс - {Икс}^{'})$ $\{\psi^i(t,x), \psi^j(t,x') \}_{PB} = -2\pi i G^{ij}\, \delta(x-x')$ от него.

Одно определение, которое, кажется, работает, это

{Ф, г} "=" - 2 π я \int г Икс г^{я Дж} (\frac{дельта Ф}{дельта ψ^{я}} \frac{дельта г}{дельта ψ^{Дж}} + \frac{дельта Ф}{дельта {\bar{ψ}}^{я}} \frac{дельта г}{дельта {\bar{ψ}}^{Дж}})

$\{F,G\} = -2\pi i \int dx\,\, G^{ij}\Big(\frac{\delta F }{\delta \psi^i } \frac{\delta G}{\delta \psi^j} + \frac{\delta F }{\delta \bar{\psi}^i } \frac{\delta G}{\delta \bar{\psi}^j}\Big)$

Однако, если это так, я хотел бы понять, почему на более общих основаниях.

Также одна конкретная скобка Пуассона, которую я заинтересован в вычислениях, это $\{(\partial_t - \partial_{x_1})\psi^i(x_1), \psi^j(x_2)\}$ который я получаю из приведенного выше определения, чтобы быть $2\pi i \frac{\partial}{\partial x_1} \delta(x_1 - x_2)$ . Это разумно?

Изменить: для справки я смотрю Приложение А в следующей статье Капустина и Орлова:

http://arxiv.org/abs/hep-th/0010293

и пытаясь проверить скобки Пуассона в уравнении. (48).

Ответы (1)

Фермионная скобка Пуассона

Qмеханик · Answer 1

Суперскобка Пуассона следует из суперверсии процедуры Дирака-Бергмана или процедуры Фаддеева-Якива. При работе с нечетными переменными Грассмана необходимо проявлять особую осторожность, чтобы добиться согласованных соглашений о знаках, см., например, мой ответ Phys.SE здесь .

Сингулярное преобразование Лежандра для фермионов также обсуждается в моем ответе Phys.SE здесь . В случае OP [который является фермионной частью уравнения. (44) в [1], плотность лагранжиана имеет вид

\begin{matrix} (1) & л "=" \frac{я}{4 π} г_{я Дж} [ψ^{я} {\dot{ψ}}^{Дж} + {\bar{ψ}}^{я} {\dot{\bar{ψ}}}^{Дж}] - ЧАС, \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}~=~ \frac{i}{4\pi} G_{ij}\left[\psi^i \dot{\psi}^j + \bar{\psi}^i \dot{\bar{\psi}}^j\right]-{\cal H},$

где мы определили плотность гамильтониана

\begin{matrix} (2) & ЧАС "=" \frac{я}{4 π} г_{я Дж} [ψ^{я} \partial_{Икс} ψ^{Дж} - {\bar{ψ}}^{я} \partial_{Икс} {\bar{ψ}}^{Дж}] . \end{matrix}

$\tag{2} {\cal H}~=~ \frac{i}{4\pi} G_{ij}\left[\psi^i \partial_x\psi^j - \bar{\psi}^i \partial_x\bar{\psi}^j\right].$

Симплектический потенциал одной формы можно записать из кинетического члена в (1):

\begin{matrix} (3) & ϑ (т) "=" \frac{я}{4 π} \int г Икс г_{я Дж} [ψ^{я} (Икс, т) г ψ^{Дж} (Икс, т) + {\bar{ψ}}^{я} (Икс, т) г {\bar{ψ}}^{Дж} (Икс, т)], \end{matrix}

$\tag{3} \vartheta(t) ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~G_{ij}\left[ \psi^i(x,t)~\mathrm{d}\psi^j(x,t) + \bar{\psi}^i(x,t) ~\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right],$

где $\mathrm{d}$ обозначает внешнюю производную в бесконечном числе измерений. Тогда симплектическая двумерная форма

ю (т) "=" г ϑ (т) "=" \frac{я}{4 π} \int г Икс г_{я Дж} [г ψ^{я} (Икс, т) \land г ψ^{Дж} (Икс, т) + г {\bar{ψ}}^{я} (Икс, т) \land г {\bar{ψ}}^{Дж} (Икс, т)]

$\omega(t)~=~\mathrm{d}\vartheta(t) ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~G_{ij}\left[ \mathrm{d}\psi^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\psi^j(x,t) +\mathrm{d}\bar{\psi}^i(x,t) \wedge\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right]$

\begin{matrix} (4) & "=" \frac{я}{4 π} \int г Икс г у г_{я Дж} дельта (Икс - у) [г ψ^{я} (Икс, т) \land г ψ^{Дж} (Икс, т) + г {\bar{ψ}}^{я} (Икс, т) \land г {\bar{ψ}}^{Дж} (Икс, т)] . \end{matrix}

$\tag{4} ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~dy~ G_{ij}~ \delta(x-y) \left[ \mathrm{d}\psi^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\psi^j(x,t)+\mathrm{d}\bar{\psi}^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right].\qquad$

Одновременная суперскобка Пуассона /Дирака на фундаментальных полях является обратной суперматрицей суперматрицы для симплектической двумерной формы (4):

\begin{matrix} (5) & {ψ^{я} (Икс, т), ψ^{Дж} (у, т)}_{п Б} "=" \frac{2 π}{я} (г^{- 1})^{я Дж} дельта (Икс - у) "=" {{\bar{ψ}}^{я} (Икс, т), {\bar{ψ}}^{Дж} (у, т)}_{п Б}, \end{matrix}

$\tag{5} \{\psi^i(x,t), \psi^j(y,t)\}_{PB}~=~ \frac{2\pi}{i}(G^{-1})^{ij} ~\delta(x-y)~=~\{\bar{\psi}^i(x,t), \bar{\psi}^j(y,t)\}_{PB},$

и другие фундаментальные суперскобки Пуассона исчезают. Равновременная скобка супер-Пуассона читается

\begin{matrix} (6) & {Ф (т), г (т)} "=" \frac{2 π}{я} \int г Икс (г^{- 1})^{я Дж} [\frac{{дельта}_{р} Ф (т)}{дельта ψ^{я} (Икс, т)} \frac{{дельта}_{л} г (т)}{дельта ψ^{Дж} (Икс, т)} + \frac{{дельта}_{р} Ф (т)}{дельта {\bar{ψ}}^{я} (Икс, т)} \frac{{дельта}_{л} г (т)}{дельта {\bar{ψ}}^{Дж} (Икс, т)}] \end{matrix}

$\tag{6}\{F(t),G(t)\} ~=~ \frac{2\pi}{i}\int \! dx (G^{-1})^{ij}\left[\frac{\delta_R F(t)}{\delta \psi^i(x,t)} \frac{\delta_L G(t)}{\delta \psi^j(x,t)}+\frac{\delta_R F(t)}{\delta \bar{\psi}^i(x,t)} \frac{\delta_L G(t)}{\delta \bar{\psi}^j(x,t)} \right]\qquad$

для произвольных одновременных функционалов $F(t)$ и $G(t)$ . Здесь индексы $L$ и $R$ относятся к дифференцированию слева и справа соответственно.

Использованная литература:

А. Капустин и Д. Орлов, arXiv:hep-th/0010293 .

Фермионная скобка Пуассона

СКФТ

Ответы (1)

Qмеханик

Неголономные связи в теории Дирака-Бергмана

Гамильтонова структура электродинамики Черна-Саймонса

Значение симплектической формы в классической теории поля

Зачем нужно поперечное дельта-распределение для скобок Пуассона классических компонент электромагнитного поля?

Скобка Дирака для формы Маделунга (полярной) поля Шредингера

Формализм Гамильтона для спиноров Дирака

Нерелятивистский лагранжиан КТП для фермионов

О связях первого класса и электродинамике

Не зависят ли скобки Пуассона ограничений второго рода от канонических координат?

Коммутационные отношения, несовместимые с ограничениями