Скобка Дирака для формы Маделунга (полярной) поля Шредингера

У меня проблема с получением скобки Дирака в Маделунговском (полярном) представлении поля Шрёдингера:

$$\begin{equation} \Psi=\sqrt{\rho}e^{i\theta/\hbar}. \label{eq:WavefunctionPolarForm} \end{equation}$$

Фон:

Было показано (например, Нонненмахером https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02817982 и Гуэррой https://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.28.1916 ), что в этом представлении ,$\theta$и$\rho$играют роль сопряженных переменных в фазовом пространстве$\Gamma=\left( \rho,\theta \right)$со скобкой Пуассона, заданной

$$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}=\int d\vec{r}\left(\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta}-\frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right)=\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}. \label{} \end{equation}$$ По сути, я хотел бы получить этот результат, применив алгоритм Дирака-Бергмана для гамильтоновых систем с ограничениями. Однако существует дополнительный фактор $2$которая появляется в результирующей скобке Дирака, так что $$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}_D=2\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta} \label{} \end{equation}$$ как показано ниже. Для начала отметим, что плотность эрмитова лагранжиана для свободного поля Шредингера может быть записана как (см., например, «Элементарную КТП» Хенли и Тирринга или «Квантовую теорию движения» Питера Холланда) $$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{i\hbar}{2}\left( \Psi^*\dot{\Psi}-\dot{\Psi}^*\Psi\right)-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\Psi\nabla\Psi^*. \label{} \end{equation}$$ Вариация действия $I=\int dt d^3x\mathcal{L}$в отношении $\Psi^*$дает уравнение Шредингера и вариацию относительно $\Psi$дает его комплексное сопряжение. Подставив полярную форму $\Psi$в это выражение для $\mathcal{L}$, получаем следующий вид для $\mathcal{L}$: $$\begin{equation} \mathcal{L}=-\rho\left(\dot{\theta}+\frac{(\nabla\theta)^2}{2m}\right)-\frac{\hbar^2}{8m\rho}\left( \nabla\rho \right)^2. \label{eq:LagrangianPolarForm} \end{equation}$$ Вариация по полю $\theta$дает уравнение неразрывности: $$\begin{equation} \dot{\rho}+\vec{\nabla}\cdot\vec{J}=0 \label{} \end{equation}$$ где $\vec{J}=\rho\vec{\nabla}\theta/m$, а варьирование по $\rho$дает квантовое уравнение Гамильтона-Якоби: $$\begin{equation} \dot{\theta}+\frac{(\nabla\theta)^2}{2m}-\frac{\hbar^2}{2m\sqrt{\rho}}\nabla^2\sqrt{\rho}=0. \label{} \end{equation}$$ Хорошо известно, что эти $2$волновые уравнения отображаются на уравнение Шредингера. Тогда канонические импульсы равны $\pi_{\rho}=0$и $\pi_{\theta}=-\rho$, что приводит к уравнениям связи $C_1=\pi_{\rho}\approx 0$и $C_2=\pi_{\theta}+\rho\approx 0$в полном фазовом пространстве $(\rho,\theta,\pi_{\rho},\pi_{\theta})$, где после Дирака символ ' $\approx$' обозначает слабое равенство на гиперповерхности, определяемое ограничениями. Каноническая плотность гамильтониана определяется выражением $$\begin{equation} \mathcal{H}_c=\pi_{\theta}\dot{\theta}+\pi_{\rho}\dot{\rho}-\mathcal{L}\approx \rho\left( \frac{(\nabla\theta)^2}{2m}\right)+\frac{\hbar^2}{8m\rho}\left( \nabla\rho \right)^2. \label{eq:canonicalHamiltonianDensity} \end{equation}$$ Скобка Пуассона ограничений показывает, что они относятся ко второму классу: $\left\{ C_1\left( \vec{r} \right), C_2 \left( \vec{r}' \right) \right\}=-\delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right)$.

Матрица связи скобок Пуассона с элементами$Q_{ij}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)=\left\{ C_i\left( \vec{r} \right),C_j\left( \vec{r}' \right) \right\}$, затем

$$\begin{equation} Q\left( \vec{r},\vec{r}' \right)= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right), \label{eq:ConstraintPoissonMatrix} \end{equation}$$ инверсия которого $$\begin{equation} Q^{-1}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \delta \left( \vec{r}-\vec{r}' \right). \label{eq:ConstraintPoissonMatrixInverse} \end{equation}$$

Скобка Дирака может быть построена как

$$\begin{equation} \left\{ f\left(\vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}_D=\left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}-\sum_{i,j=1,2}\iint d\vec{r}d\vec{r}'\left\{ f\left( \vec{x} \right),C_i\left( \vec{r} \right) \right\}Q^{-1}_{ij}\left( \vec{r},\vec{r}' \right)\left\{ C_j\left( \vec{r}' \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}=\left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}-R_{12}-R_{21}. \label{} \end{equation}$$ Теперь для $R_{12}$один находит $$\begin{equation} R_{12}=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}-\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} \right), \label{} \end{equation}$$ и для $R_{21}$: $$\begin{equation} R_{21}=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}-\frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho} \right). \label{} \end{equation}$$ Следовательно, у нас есть $$\begin{equation} \left\{ f\left( \vec{x} \right),g\left( \vec{y} \right) \right\}_D=\int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho} + \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\theta}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\theta}}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\rho}}+\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}+\frac{\delta f}{\delta\pi_{\rho}}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right)= \int d\vec{r}\left( \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\pi_{\theta}}- \frac{\delta f}{\delta\pi_{\theta}}\frac{\delta g}{\delta\theta} +\frac{\delta f}{\delta\rho}\frac{\delta g}{\delta\theta} - \frac{\delta f}{\delta\theta}\frac{\delta g}{\delta\rho}\right). \label{} \end{equation}$$ Теперь, если мы воспользуемся уравнением связи $\pi_{\theta}=-\rho$, получаем, что скобка Дирака сводится к $$\begin{equation} \left\{ f,g \right\}_D=2 \left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}. \label{} \end{equation}$$ Таким образом, фазовое пространство сводится к переменным $\rho$и $\theta$но фактор $2$на самом деле не должно быть там, так как это приводит к противоречивым волновым уравнениям для $\rho$и $\theta$переменные, например $\dot{\theta}=\left\{ \rho,H_c \right\}_D$. Я попытался добавить общую производную по времени к лагранжевой плотности для начала. Например. $$\begin{equation} \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}'=\mathcal{L}+\frac{d}{dt}\left( \rho\theta/2 \right). \label{} \end{equation}$$ Но это в конечном итоге дает фактор $4$вместо $2$.. Я заметил, что если канонические импульсы приводят к ограничениям $C_1=\pi_{\rho}-2\theta\approx 0$и $C_2=\pi_{\theta}+2\rho\approx 0$, то скобка Дирака сводится к скобке Пуассона $\left\{ f,g \right\}_{\rho,\theta}$без какого-либо предфактора. Но кажется невозможным добавить общую производную по времени к $\mathcal{L}$который достигает этого. Есть мысли вообще?

Спасибо!