О связях первого класса и электродинамике

Рассмотрим теорию в гамильтоновом формализме и предположим, что она имеет ограничения между каноническими переменными Вопрос , π . По терминологии Дирака множество ограничений Ф а ( Вопрос , π ) ≈ 0 первого класса удовлетворяет условиям { Ф а , Ф б } п ≈ 0 , а множество ограничений второго класса имеют ненулевые скобки Пуассона.

Давайте иметь случаи массивного и безмассового бозонного поля с лагранжианами

л "=" − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν − λ м 2 А 2 , λ Е М "=" 0 , λ м а с с я в е "=" 1.
Для первого случая имеем набор ограничений второго класса (второе — фиктивное уравнение движения для А 0 компонент)
π 0 "=" ∂ л ∂ ( ∂ 0 А 0 ) ≈ 0 , Ф ( А 0 , π я , Дж 0 ) "=" − Δ А 0 − ∂ я π я + м 2 А 0 ≈ 0 , { π 0 ( Икс ) , Ф б ( у ) } п "=" − м 2 дельта ( Икс − у ) ,
а для второго у нас есть ограничения первого класса:
π 0 "=" ∂ л ∂ ( ∂ 0 А 0 ) ≈ 0 , Ф ( А 0 , π я , Дж 0 ) "=" − Δ А 0 − ∂ я π я ≈ 0 , { π 0 ( Икс ) , Ф б ( у ) } п ≈ 0.
Почему в первом случае после введения скобки Дирака можно сделать равенство ограничения на нуль строгим (т. е. выразить А 0 как определенная функция канонических импульсов и тока), а во втором случае невозможность введения скобок Дирака приводит к невозможности выражения А 0 через другие канонические координаты? Т.е. как меняется возможность инкторукции скобок Дирака ≈ к "=" ?

Комментарий к вопросу (v2): рассмотрите возможность предоставления ссылки/дополнительной информации для ≈ к "=" заявление.

Ответы (3)

Комментарий к вопросу (v2):

Согласно исх. 1, слабый символ равенства ≈ обычно означает равенство по модулю всех ограничений:

Использованная литература:

  1. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, 1994; п. 13.
Да, ты прав. Я удалил второе предложение.

Не уверен, что правильно отвечу, но, насколько я помню, использование скобки Дирака позволяет избавиться от ограничений второго класса и в конце иметь дело только с ограничениями первого класса. И все же в конце вы считаете только слабое равенство, нет =.

Привет, Том, это сделало бы хороший комментарий. Как ответ, это довольно неполный.
Нет, это не так. Мы устраняем ограничения второго класса, вводя скобки Дирака для уравнения движения, и после этого можем сильно обнулить ограничения второго класса. После этого мы можем уменьшить количество степеней свободы.

Слабое равенство ф ≈ 0 означает, что мы сначала должны вычислить все скобки Пуассона теории (уравнения движения и т. д.) и только после этого можно положить ф до нуля. Это связано с тем, что гамильтониан не содержит информации о первичных ограничениях (хорошим примером является электродинамика) и, следовательно, не содержит информации о вторичных ограничениях.

Возможно, я понял ответ на вопрос. Мы можем заменить слабое равенство на сильное, если все динамические скобки (скобка Пуассона в начале) ограничения с любой (!) другой функцией равны нулю. Как видно, если мы заменим гамильтониан ЧАС 0 (который не состоит из информации о первичных ограничениях ф я ) к ЧАС "=" ЧАС 0 + λ а ф а ≈ ЧАС 0 , то у нас будет скобка Дирака для временной эволюции каждой функции. Скобка Дирака всех ограничений второго рода с произвольной функцией равна нулю, поэтому, если мы можем ввести эту скобку, мы можем тогда установить все ограничения второго класса равными нулю. Если же остаются ограничения первого класса, то следует анализировать нашу теорию как калибровочную, поскольку ограничения первого класса всегда связаны с инвариантностью относительно некоторых преобразований. Это может уменьшить наши степени свободы.

О связях первого класса и электродинамике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v