Гамильтонова структура электродинамики Черна-Саймонса

Я читаю обзорную статью "Аспекты теории Черна-Саймонса" Джеральда Данна.

https://arxiv.org/abs/hep-th/9902115

Начиная со стр. 17, Данн работает над гамильтоновой структурой электромагнетизма CS. Когда члена Максвелла нет, действие CS определяется выражением

$$L = \frac{1}{2} \epsilon^{ij} \dot{A}_i A_j + A_0 B\tag{70}$$

где я установил$\kappa = 1$, и это дано в его уравнении 70. Тогда сопряженные импульсы равны

$$\Pi^i = \frac{\partial L}{\partial \dot{A}_i} = \frac{1}{2} \epsilon^{ij} A_j\tag{73}$$

который также можно найти в его уравнении. (66) учитывая, что$e \rightarrow \infty$. Тогда равновременные канонические коммутационные соотношения задаются выражением

$$\left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = i \delta^j_i \delta^{2} (x-y)\tag{68}$$

который дан в его уравнении. (68). Затем он использует определение сопряженных импульсов и находит, что

$$\left[A_{i} (x) , A_j (x) \right] = i \epsilon_{ij} \delta^{2} (x-y).\tag{72}$$

Я не знаю, как получить этот результат. Теперь позвольте мне написать, что я получил

$$\begin{equation} \left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = \frac{1}{2} \epsilon^{jk} \left[A_{i} (x) , A_k (x) \right] \end{equation}$$

С другой стороны, поскольку$\left[A_{i} (x) , \Pi^j (x) \right] = i \delta^j_i \delta^{2} (x-y)$, у нас есть

$$\begin{equation} i \delta^j_i \delta^{2} (x-y) = \frac{1}{2} \epsilon^{jk} \left[A_{i} (x) , A_k (x) \right] \end{equation}$$

Умножая каждую сторону на$2 \epsilon_{jm}$и используя$\epsilon^{jm} \epsilon_{jn} = \delta^m_n$, я получаю

$$\begin{equation} \left[A_{i} (x) , A_j (x) \right] = 2 i \epsilon_{ij} \delta^{2} (x-y) \end{equation}$$

Видимо, мне не хватает коэффициента 2, но я понятия не имею, что я делаю неправильно.