Вектор положения против полярных координат

В декартовой системе координат,

$$\mathbf{r}=x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z}$$

где$\mathbf{r}$является «вектором положения». Кроме того,$r$(не выделено жирным шрифтом) обычно принимается равным расстоянию от источника до точки интереса, т.е.

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

что верно в любой системе координат (при условии евклидовой нормы). С этими двумя определениями самоочевидно, что

$$\mathbf{r}=r\mathbf{\hat r}$$

Это выражение просто говорит, что ваш вектор положения указывает в направлении вашего нормализованного вектора положения, и что его величина равна$r$. Опять же, это выражение верно для любой системы координат.

Очень важно отметить, что если точка интереса$p$равно$(r,\theta,\phi)$в сферических координатах (например), то$\mathbf{r}$не равно _$r\mathbf{\hat r}+\theta \mathbf{\hat \theta} +\phi \mathbf{\hat \phi}$. Вы можете увидеть это, просто рассмотрев единицы векторов и величины$r$,$\theta$, и$\phi$. Вместо этого, чтобы найти$\mathbf{r}$в сферических координатах (или любой другой системе координат) вам нужно будет использовать известные выражения для$x$,$y$,$z$,$\mathbf{\hat x}$,$\mathbf{\hat y}$, и$\mathbf{\hat z}$.

Не менее важно понимать, что единичные векторы$\mathbf{\hat r}$,$\mathbf{\hat \theta}$, и$\mathbf{\hat \phi}$ меняться в зависимости от положения (и времени). Так что на самом деле они являются функциями$x$,$y$, и$z$(или$x(t)$,$y(t)$, и$z(t)$).

Кроме того, к сожалению, многие учебники также используют$r$для обозначения расстояния от точки до оси z в круговых/цилиндрических координатах. Как уже сказал кто-то другой, эти два определения несовместимы друг с другом и могут вызвать некоторую путаницу. Лучшее обозначение$(\rho, \phi)$или$(s, \phi)$, так что

$$s=\rho=\sqrt{x^2+y^2}$$

С каждым новым учебником, статьей и т. д. важно понимать, как они определяют свои базовые координаты.

Наконец, чтобы ответить на ваш вопрос, производная по времени от$\mathbf{r}$является

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d(r\mathbf{\hat r})}{dt}$$

... по той простой причине, что$\mathbf{r}$ВСЕГДА равно$r\mathbf{\hat r}$. Обратите внимание, что это выражение несколько сложно вычислить, поскольку$\mathbf{\hat r}$на самом деле является функцией положения и времени.

В любой системе координат

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y}+z\mathbf{\hat z})$$

$z = 0$в полярных координатах, так что

$$\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x\mathbf{\hat x}+y\mathbf{\hat y})=\frac{dx}{dt}\mathbf{\hat x}+\frac{dy}{dt}\mathbf{\hat y}=\frac{d (\rho \cos{\phi})}{dt}\mathbf{\hat x}+\frac{d (\rho \sin{\phi})}{dt}\mathbf{\hat y}$$

Ваше цитируемое выражение верно, потому что это простое утверждение, которое

$$\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{\hat x}+y(t)\mathbf{\hat y}$$

именно так мы определили вектор положения в первую очередь.

Как вы подразумеваете, вектор положения,$\mathbf r$, может быть выражена как сумма трех декартовых составляющих:

$$\mathbf r=x\mathbf {\hat x}+y\mathbf {\hat y}+z\mathbf {\hat z}$$ Это невозможно сделать в полярах. Проблема в том, что не существует единичных векторов$\mathbf{\hat r}, \mathbf {\hat \theta}, \mathbf {\hat \phi}$которые являются постоянными векторами, так же как и$\mathbf {\hat x}, \mathbf {\hat y}$и$\mathbf {\hat z}$являются постоянными векторами. [Мы можем выразить$d\mathbf r$в терминах локальных единичных векторов$\mathbf{\hat r}, \mathbf {\hat \theta}, \mathbf {\hat \phi}$, но это нельзя распространить на конечные векторы смещения.]

Итак, если мы хотим использовать поляры, мы используем координаты,$r, \theta, \phi$, но мы не видим их как скалярные коэффициенты единичных векторов.

Как уже было метко указано, оставляя вектор смещения равным$\mathbf r$не привязан к какой-либо системе координат.

Исправить векторное пространство$V$размера$n$. Давайте также зафиксируем декартову и полярную системы координат.

Теперь различие, на которое вы смотрите, в основном связано с тем, что радиальное направление в полярных координатах зависит от всех декартовых направлений, и поэтому мы ожидаем, что оно будет иметь$n$направления свободы (dof). Но нормализованный радиальный вектор ограничен лежанием на единичной сфере, поэтому он имеет на одну степень свободы меньше.

Таким образом, радиальный вектор, умноженный на некоторый масштаб, позволяет покрыть пространство. Это то, что вы видите. Любая другая система координат с таким же свойством могла бы делать то же самое.

Теперь векторы ($\hat x_i$) а также ($\hat r, \hat \theta_i$), хотя векторы, не живут в данном векторном пространстве$V$. Они лежат в$TV$, касательное пространство$V$. Это тоже векторное пространство, размерность которого вдвое больше, чем у$V$и поэтому он имеет размерность$2n$. Собственно говоря, это касательные векторы. И на самом деле, точнее говоря, это касательные поля. Только когда вы указываете позицию$p$(который здесь является вектором, поскольку наше базовое пространство является векторным пространством), что вы получаете касательный вектор, скажем$\hat r(p)$и это живет в касательном пространстве$T_pV := TV[p]$.

Теперь выражение:

$x^i(p).\hat x_i(p)$

тогда просто общий касательный вектор в$p$.

как и выражение:

$r(p).\hat r(p) + \theta^i(p).\hat \theta_i(p)$

Два семейства касательных векторов${\hat x_i(p)}$и${\hat r(p),\hat \theta_i(p)}$оба основания$T_pV$и матрица преобразования между ними изменяет касательные векторы (а не векторы положения!), выраженные в одной системе координат, в другую.

В частности, выражение:

$x^i(p).\hat x_i(p)$

вообще - то есть над искривленным пространством - не имеет смысла. Почему? Потому что$x^i(p)$является компонентами вектора, а не касательного вектора, и поэтому мы не должны суммировать это по касательной основе. Причина, по которой мы можем это сделать, заключается в том, что касательные пространства векторного пространства имеют канонический изоморфизм с базовым векторным пространством. Таким образом, в этом выражении мы также можем думать о$\hat x_i(p)$так как также лежит в векторном пространстве, и поэтому сумма имеет смысл.

Позиция задается как вектор$\vec r$. Использование полярных координат$\vec r$указывается с помощью$r$и$\theta$. Позволять$\hat n$быть единичным вектором, который определяет направление$\vec r$;$\vec r = r \hat n$. (Ты используешь$\hat r$для единичного вектора я использую$\hat n$чтобы сделать разницу между$\hat r$и$\hat n$яснее.)$\hat n$имеет единичную величину, но не фиксируется в направлении;$\hat n$зависит от$\theta$, так$\vec r = r \hat n(\theta)$.

скорость$\vec v$дан кем-то:$\vec v = {d \over dt} \vec r = {dr \over dt} \hat n + r {d \hat n \over dt} = {dr \over dt} \hat n + r{d\hat n \over d\theta}{d\theta \over dt}$.

Позволять$\hat l$быть единичным вектором в$\theta$направление. (Ты используешь$\hat \theta$для единичного вектора я использую$\hat l$.)${d \over d\theta} \hat n = \hat l$. Так,$\vec v = {dr \over dt} \hat n + r {d \theta \over dt} \hat l$.

Информация добавлена ​​на основе комментария ОП. $\vec r \ne r\hat n + \theta\hat l$; положение не зависит от$\hat l$. И скорость, и ускорение зависят от$\hat l$а также$\hat n$. Посмотрите хорошую книгу по физике-механике.

На рисунке ниже показано, как один и тот же вектор положения$\vec r$можно выразить с помощью единичных векторов в полярных координатах$\hat n$и$\hat l$, или используя единичные векторы декартовых координат$\hat i$и$\hat j$, единичные векторы вдоль декартовых осей x и y соответственно.$\hat n$и$\hat l$не зафиксированы в направлениях, они движутся как$\theta$изменения.$\hat i$и$\hat j$фиксируются в направлениях вдоль соответствующих фиксированных осей.

Твой$r$играют несколько ролей.

Вместо этого пусть$\vec R$вектор положения ($\vec R=R\hat R$), и разреши$r$быть радиальной координатой в (скажем)$(r,\theta,\phi)$.

Итак, теперь вектор положения$\vec R$а его производная по времени есть скорость$\vec V=\frac{d}{dt}\vec R$,
который может быть выражен в любом наборе координат,
например, прямоугольном$(x,y,z)$или сферический$(r,\theta,\phi)$или цилиндрический$(s,\theta,z)$.